376 
Erster Theil. Differential - Rechnung. 
daraus folgt die Krümmung 
(6) 
(1 _j_ y'*)i 
und der Krümmungshalbmesser 
(7) 
y" 
Hierzu ist folgendes zu bemerken. Die Zählung des 
Bogens s erfolgt derart, dass er mit der Abscisse x zugleich 
wächst; dann ist die Quadratwurzel in dem Ausdrucke (7) 
positiv (148) und stimmt das Vorzeichen von q mit jenem 
von y" überein. Es ergibt sich also unter dieser Voraus 
setzung q positiv in einem Punkte, in welchem die Curve concav 
nach oben, und negativ in einem Punkte, wo sie concav nach unten 
ist (140). In einem Wendepunkte ist y" == 0 und der Krüm 
mungsradius wird dort unendlich, die Krümmung Null, der 
Krümmungskreis geht in eine Gerade, die Wendetangente, über. 
Zur Feststellung des Krümmungsmittelpunktes ii, dessen 
Coordinaten x 0 /y 0 heissen mögen, stellen wir folgende Betrach 
tung an. Als positiv gelte diejenige Richtung der Normale 
in M, welche in Bezug auf die Tangente daselbst auf derselben 
Seite liegt, wie die Parallele M(Y) zur positiven Richtung der Or- 
dinatenaxe, Fig. 67, und der (auf das Intervall (0, n) beschränkte) 
Winkel, welchen diese Normalenrichtung mit der positiven 
Richtung der Abscissenaxe einschliesst, heisse v. Dann hat die 
Strecke Mil die positive oder negative Richtung der Normale, 
jenachdem q positiv oder negativ ist, und es ist immer 
jx 0 X = Q COS V 
da ferner 
bg ts —— f ^ 
so ergibt sich V 
1 
y' 
sin V — ■ , -, COS V 
sin V — 
COS V — 
V1 + y'* ’ 
1/1 + y'* 
die Wurzel positiv, weil sin v positiv ist; hiermit und mit Be 
nützung von (7) hat man aus (8) 
(»)