Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung u. s. w. 379 
t __ „ ißx* + dy 2 )dy 
* dx d*y — dy d*x 
w=t , I (dx* + dy*)dx 
‘ d i" dxd*y — dy d*x’ 
Werte, welche in der That mit den in (9*) gefundenen Coor- 
dinaten des Krümmungsmittelpunktes übereinstimmen. 
153. Der Ort der Krümmnngsmittelpunkte einer gegebenen 
Curve ist eine neue Curve, welche man als Evolute der ge 
gebenen bezeichnet, während diese eine Evolvente von jener 
genannt wird. Die Namen sind in gewissen Eigenschaften 
dieser Linien begründet, welche alsbald nachgewiesen werden 
sollen. 
Was zunächst die Gewinnung der Gleichung der Ortscurve 
der Krümmungsmittelpunkte oder der Evolute anlangt, so ist 
folgendes zu bemerken. Ist die Curve in einer der Formen 
y = f(x) oder F(x, y) — 0 gegeben, so hat man zwischen 
ihrer Gleichung und den beiden Gleichungen (9) die Coordi- 
naten x, y zu eliminiren, um die Relation zwischen x 0 , i/ 0 , d. i. 
die Gleichung der Evolute zu erhalten. Wenn hingegen die 
Curve durch einen Parameter, also in der Form x — x(u), 
y = y(u) dargestellt ist, so hat man zwischen diesen und den 
beiden Gleichungen (9*) die Yariabeln x, y, u zu eliminiren, 
um zu demselben Ziele zu gelangen. 
Um nun die charakteristischen Eigenschaften der Evolute 
zu erweisen, gehen wir von den Gleichungen (14) aus, welche 
zwischen den Coordinaten x/y eines Punktes der gegebenen 
Curve und den Coordinaten x Q /y 0 des Krümmungsmittelpunktes, 
also des ihm zugeordneten Punktes der Evolute, die folgenden 
Beziehungen zum Ausdruck bringen: 
(x 0 — x)dx +{y 0 — y)dy =0, 
(x 0 — x)d 2 x -j- (y 0 — y)d 2 y = dx 2 -|- dy 2 . 
Differentiirt man die erste dieser Gleichungen, so ergibt sich 
zunächst 
(dx 0 — dx)dx-\- (dy 0 — dy)dy -f- (x Q —x)d 2 x -f- (y 0 — y)d 2 y = 0 
und dies reducirt sich im Hinblicke auf die zweite Gleichung zu 
(15) dx 0 dx -f- dy 0 dy = 0,