Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung u. s. w. 395 
in diesem Punkte; der Punkt ist damit zugleich als gewöhn 
licher Punkt gekennzeichnet. Aus (7) ergibt sich, wenn 
f [^2 
T fy 0 
und hiermit 
(8) 
+ fy o n = 0 
als Gleichung der Tangente (125, (8)). Mit Rücksicht auf (4) 
kann also der Satz ausgesprochen werden: Geht eine algebrai 
sche Curve durch den Ursprung des Coordinatensystems und ist 
dieser ein einfacher Funkt derselben, so erhält man durch Null 
setzen der Gliedergruppe erster Ordnung unmittelbar die Glei 
chung der Tangente im Ursprung. 
Wäre fy 0 — 0, dagegen f^^O, so ersetze man t durch 
— und findet x — 0, so dass | = 0 oder die Ordinatenaxe 
X 7 
zur Tangente wird. 
Wir gehen nun zu dem Falle über, wo gleichzeitig 
(9) 
U = 0 fvo = 0 
ist; wenn nicht auch alle drei Differentialquotienten zweiter Ord 
nung zugleich verschwinden, so beginnt nunmehr die Gleichung 
(6) mit einem Gliede zweiten Grades in Bezug auf | und 
lautet allgemein 
(10) 
1+ 
1 
1-2-3 
sie hat | = 0 zur zweifachen Wurzel, die Gerade (5) schneidet 
also die Curve im Punkte M 0 zweifach, mit anderen Worten, 
sie schneidet dort zwei — reelle oder imaginäre — Äste der 
Curve, und deshalb wird nun M 0 ein zweifacher oder ein 
Doppelpunkt der letzteren genannt. Für diejenigen Geraden, 
deren Richtungscoefficient die Bedingung 
/*b* + %fx a y a t + fy* t 2 = 0 
(11) 
erfüllt, fallen in M 0 mehr als zwei Punkte der Curve zu 
sammen, diese Geraden sind die Tangenten an die durch ilf 0 
verlaufenden Curvenzweige.