396 Erster Theil. Differential-Rechnung. 
In Betreff der Wurzeln der Gleichung (11) sind aber 
mehrere Fälle zu unterscheiden. 
a) Ist die Discriminante 
A, 2 fyo AoL < °; 
so hat (11) zwei verschiedene reelle Lösungen, durch M 0 
gehen zwei reelle Zweige mit verschiedenen Tangenten, M 0 
ist also ein Knotenpunkt (Fig. 77, a)). 
b) Ist die Discriminante 
Ao 2 fy o 1 fxjy 0 = 0, 
so besitzt (11) zwei gleiche reelle Lösungen, die beiden durch 
M 0 laufenden Curvenzweige haben hier eine gemeinsame Tan 
gente; dies kann verschiedene Erscheinungen an der Curve 
bedingen: einen Selbstberührungspunkt (Fig. 77, b)) oder eine 
Spitze (Fig. 79) oder einen isolirten Funkt*). Ob das eine 
oder das andere zutrifft, muss eine weitere Untersuchung fest 
stellen. Gibt es zu beiden Seiten von M 0 reelle Werte von 
x und y, so ist Selbstberührung vorhanden; sind nur zu 
einer Seite von M 0 reelle y oder reelle x vorhanden, so hat 
man es mit einer Spitze zu thun — ob mit einer der ersten 
oder der zweiten Art, darüber entscheidet die Richtung der 
Concavität der beiden Aste in M 0 (140) —; gibt es in der 
Umgebung von M 0 auf keiner Seite reelle y, so ist M 0 ein 
isolirter Punkt. 
*) Dass in einem isolirten Punkte eine reelle Tangente existiren 
kann, ist analytisch so zu erkennen. Sind 
y = u{x) -f- iv(x) 
y = u{x) — iv{x) 
zwei conjugirt imaginäre Zweige, so ist für einen isolirten Punkt x 0 /y 0 , 
der aus diesen Zweigen sich ergibt, 
V (X 0 ) = 0; 
die Tangenten an diesen Punkt im neuen Coordinatensysteme haben 
die Gleichungen 
r\ = (u\x 0 ) -f- iv'(x 0 ))i 
V = (u'ix 0 ) — iv’(x 0 )) £ ; 
im Allgemeinen sind diese Tangenten imaginär; sie werden reell und 
fallen gleichzeitig zusammen, wenn 
v\x 0 ) = 0, 
wenn also x 0 eine mehrfache Wurzel der Gleichung v(x) = 0 ist.