Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung u. s. w. 415 
fx, fy nicht gleichzeitig Null, die Gerade x = a ist somit 
Einhüllende. 
Die yorgelegte Gleichung stellt ein System von Strophoi- 
den (126, 2)) dar, welche sich nur durch ihre Lage gegen die 
Ahscissenaxe unterscheiden; Fig. 90 (S. 414); G G' ist ihre 
gemeinsame Asymptote, YY' der Ort ihrer Doppelpunkte und 
HH' die Einhüllende. 
B. Raumcurven und krumme Flächen. 
§ 1. Tangente und Normalebene einer Raumeurve. 
Die erste Krümmung oder Flexion. 
165. Sind die veränderlichen rechtwinkligen Coordinaten 
x, y, ¿ eines Punktes M im Raume als eindeutige stetige 
Functionen einer Hilfsvariabein oder des Parameters u gegeben; 
(1) x = x(u) y = y(u) ¿ = ¿(«4), 
so beschreibt, während u seinen Bereich stetig durchläuft, der 
Punkt M eine Curve im Raume, sofern nicht eine der drei 
Functionen beständig den Wert Null hat; in letzterem Falle 
würde in einer der Coordinatenebenen eine Curve beschrieben 
werden. Von den Functionen x(u), y(u), z(u) setzen wir 
weiter noch voraus, dass sie bis zu Gliedern der jeweilen er 
forderlichen Ordnung nach der Taylor’sehen Formel entwickel 
bar seien. 
Besteht zwischen den drei Functionen eine lineare Be 
ziehung mit constanten Coefficienten 
Ax(u) -f- By(u) -f- Cz{u) + JD = 0, 
so liegen alle Punkte der Curve in einer Ebene, die Curve ist 
eine Plancurve; findet eine derartige Beziehung nicht statt, so 
heisst die Curve eine Raumeurve. 
Zwei von den Gleichungen (1) für sich betrachtet (125), z. B. 
y = y(u), 0 = a(u), 
bestimmen eine Curve in der «/¿-Ebene; dieselbe wird gleich 
zeitig mit der Raumeurve von dem Fusspunkte des Lothes 
aus M auf die «/¿-Ebene beschrieben, ist also die Projection 
der Raumeurve auf dieser Ebene. Diese Projection kann, 
wenn man u eliminirt, auch durch eine Gleichung der Form