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Erster Theil. Differential-Rechnung. 
Für den Punkt 2a j0/0 hören die Formeln auf bestimmte 
Bedeutung zu haben; es ist dies ein singulärer Punkt der 
Curve, wie auch ihre Projection auf der i/£-Ebene (Fig. 92 a) 
es erkennen Hess. 
Die Gleichungen der Tangente im Punkte x/y/z sind 
I — x __ y — y __ g — z _ 
— yz z(x — a) ay 
167. Die in 147 aufgestellte Definition für die Länge 
eines ebenen Curyenbogens lässt sich auch auf eine Raum- 
curve ausdehnen. Wir definiren die Länge eines Bogens M 0 M 
einer Baumcurve als den Grenzwert eines in diesem Bogen 
von M 0 bis M verlaufenden Sehnenzuges bei beständig wach 
sender Zahl der Sehnen und Abnahme jeder einzelnen gegen 
die Grenze Null. 
Dieser Definition zufolge ist der Difierentialquotient der 
Function s von u, welche die Bogenlänge ausdrückt, der Grenz 
wert des Quotienten aus der Sehne MM'= c durch die zu 
gehörige Änderung h von u für lim h = 0, d. h. es ist 
äs 
du 
Hm — 
h — 0 k 
lim 
A ?=0 
yjx* -j- Jy 2 -}- Jz 2 . 
denn diese Sehne kann als Seite des Sehnenzuges von M 0 bis 
M'j also als Änderung der Länge des Sehnenzuges in M 0 M 
bei dem Fortschreiten von M zu M' aufgefasst werden. Führt 
man die Division mit Ji unter der Wurzel aus und vollzieht 
dann den Grenzübergang, so ergibt sich 
(8) 
äs -j//daA 2 , idy\ 2 , /dz\ 2 
du V \du) "■ \du) ' \du) 
Geschieht die Zählung des Bogens so, dass er mit u zugleich 
wächst, so ist die Quadratwurzel positiv zu nehmen. 
Daraus erhält man durch Multiplication mit du das Bogen- 
differential, das, wenn die unabhängige Variable nicht ersicht 
lich gemacht wird, die Formel hat 
(9) ds — Y dx* -j- dif -}- dz 2 . 
Hiermit gestatten die Formeln 166, (6*) für die Rich 
tungscosinusse der Tangente die Schreibweise 
.... dx 0 dy dz 
(10) msa = j; , cos/i = Js , CO Sr = J- s ■