Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung u. s. w. 445 
welche z implicite als Function von x, y bestimmt; die Ab 
leitung der Differentialquotienten von z auf Grund dieser 
Gleichung ist in 59 erläutert worden. 
Zu der allgemeinsten Darstellung gelangt man von der 
geometrischen Erzeugung einer krummen Fläche durch stetige 
Bewegung und Formänderung einer Curve ausgehend. Wenn 
die Coordinateli x, y, z eines veränderlichen Punktes M als 
stetige Functionen eines Parameters u gegeben sind, so be 
schreibt M, indem u seinen Bereich stetig durchläuft, eine 
Curve; und enthalten jene Functionen noch einen zweiten 
Parameter v, in Bezug auf welchen sie ebenfalls stetig sind, 
so beschreibt die Curve, während v das ihm zugehörige Inter 
vall stetig durchläuft, eine krumme Fläche. Demnach ist eine 
solche durch drei Gleichungen von der Form 
(3) x — x(ic,v), y — y(u,v), z = z(u,v) 
gegeben. 
Ertheilt man in (3) dem v einen festen Wert v x , so 
stellen sie eine Curve dar, welche der Fläche angehört oder 
ihr aufgeschrieben ist und die man kurzweg die Curve v x 
nennen kann. 
Aber auch einem festen Werte u x von u entspricht eine 
Curve auf der Fläche, welche die Curve u x heissen soll. 
Durch den Schnitt beider Curven ist ein Punkt M x auf 
der Fläche bestimmt und man nennt u = u x , v = v x seine 
krummlinigen Coordinateli; die gewöhnlichen rechtwinkligen 
Coordinateli dieses Punktes drücken sich durch 
x = x(u x , v x ), y = y{u x , v x ), z = z(u x , v x ) 
aus. Die beiden Curvensysteme der u und der v bezeichnet 
man als Coordinatenlinien auf der Fläche. 
Von der Darstellung (3) gelangt man durch Elimination 
von u, v zu der Form (2) und, falls hier Lösung nach z 
möglich ist, zu der Form (1). 
Neben der Beziehung einer Fläche auf ein rechtwinkliges 
Coordinatensystem ist die Darstellung in räumlichen Polar- 
coordinaten cp, 0, r am gebräuchlichsten; die Transformation 
der ersteren Coordinateli in die letzteren geschieht (67, I) 
mittels der Gleichungen