Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential - Rechnung u. s. w. 449 
oder in Anwendung einer in 142 eingeführten Terminologie 
als diejenige Ebene, welche mit der Fläche im Punkte M eine 
Berührung mindestens der ersten Ordnung aufweist. 
Führt man die Entwicklung von z i in (5) weiter, so wird 
= e + ph + qk + y (r^ 2 + 2 shk + t¥) -f v , 
wo nunmehr rj eine Grosse der dritten Ordnung bezeichnet: 
für den Abstand des Punktes M' von der Ebene (10) ergibt 
sich dann der Ausdruck 
d = 
(A + Cp)h -f (5 -f Cq)k + ~ (irh 2 -f 2shk + th ä ) 
]/A 2 + B- + C 2 
+ V 
und insbesondere für seinen Abstand von der Tangentialebene 
(11) 
rh* + 2 shk + tV 
+ f 
v 
wobei auch r[' von der dritten Ordnung ist. 
Hat das Trinom rh 2 -J- 2shh -j- für alle Wertverbin- 
dungen h/h, ausgenommen 0/0, das nämliche Vorzeichen, so 
liegt die Fläche in der nächsten Umgebung des Punktes M ganz 
zu einer Seite der Tangentialebene. Die Bedingung dafür ist (119) 
(12) rt — s 2 > 0. 
Ist das Trinom verschiedener Zeichen fähig, was dann der 
Fall ist, wenn 
(13) rt — s 2 < 0, 
so liegt die Fläche in der Umgebung des Punktes M theils 
zur einen, theils zur andern Seite der Tangentialebene und 
wird daher von dieser, da Stetigkeit vorausgesetzt ist, geschnitten; 
die Grenzen der Gebiete verschiedener Vorzeichen von d er 
geben sich aus der Gleichung 
rh? 2shh -j- th 2 — 0, 
welche im Falle (13) die verschiedenen reellen Wurzeln 
k — s + l/V — rt 
h t 
liefert, durch die in der xy-Ebene zwei durch den Punkt P 
laufende Geraden bestimmt sind; dieselben theilen die xy-Ebene 
Czuber, Vorlesungen. I. 29