Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential - Rechnung u. s. w. 465 
(Ax -f~ By + Cz -f- D — 0 
(13) A'x + B'y + Cz +D'=0 
\A"x + B"y + C"z + D"= 0 
und bemerken hierzu Folgendes. 
Die erste Gleichung bedeutet bei festem u eine einzelne 
Ebene der Schar, bei yariablem u die Schar selbst. 
Die zwei ersten Gleichungen repräsentiren bei festem u 
eine einzelne Charakteristik oder Erzeugende, bei veränder 
lichem u das ganze System oder die Einhüllende. 
Alle drei Gleichungen zusammen stellen bei festem u einen 
einzelnen Punkt der Rückkehrkante dar, bei yariablem u die 
Rückkehrkante selbst, indem sie x, y, z als Functionen von u 
definiren. 
Im Grunde dieser Auffassung können wir nun noch nach- 
weisen, in welcher Beziehung die Ebenen der Schar zu der 
Rückkehrkante stehen: sie sind deren Oscvdationsehenen. 
Um dies zu zeigen, fassen wir die Gleichungen (13) als 
Gleichungen der Rückkehrkante auf und differentiiren die erste 
nach w; dies gibt zunächst 
A'x + B'y+Ce + B'+A¥- + Bp- + C ~ = 0 
1 J 1 1 1 du du 1 du 
und wegen der zweiten 
(14) + = 0: 
v J du 1 du 1 du 
abermalige Differentiation nach u liefert zunächst 
A'^ + B'p- + C ~ -f A pl + B p{ -f C ~ 0; 
du 1 du 1 du 2 1 du 2 1 5 
du 
du 
du 2 
du 2 
wenn man aber die zweite differentiirt, so erhält man unter 
Berücksichtigung der dritten 
und damit reducirt sich die vorangehende Gleichung auf 
(15) 
d 2 x 
drf 
+ <? 
d*z 
du 2 
= 0. 
Aus (14) und (15) ergibt sich das Verhältnis der Richtungs- 
coefficienten der Osculationsebene (170, (6)) 
Czuber, Vorlesungen. I. 
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