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Erster Theil. Differential-Rechnung. 
0 cos ß cos y 
X Q — X-{- Q COS^ COS V = p C OS A—T-^|cOS(p 
— T~ g cos^ cos x 
cos a 0 cos y 
(2) ■ y 0 =y+ COsA 9 C0Sv =y -f pcosg — cosi, 
rp dg 
cos cp —T-J- S COS l 
cos a cos ß 0 
^ o =0-f- cos ^- COS^ Q __ z _j_ ^ cosv T—C.OSX- 
cos cp cos ^ 
Bei festem s bestimmen diese Gleichungen den dem Punkte M 
von C correspondirenden Punkt M 0 der Rückkehrkante C 0 der 
Polarfläche, bei veränderlichem s stellen sie die Curve C 0 
selbst dar. 
192. Der Punkt M 0 hat für die Curve C im Punkte M 
noch eine andere wichtige geometrische Bedeutung: Er ist der 
Mittelpunkt derjenigen unter den durch M gehenden Kugeln, 
welche sich der Curve C in der Umgebung von M am engsten 
anschliesst; sie wird die osculirende Kugel oder Schmiegungs 
kugel der Curve G im Punkte M genannt. 
Um dies zu erweisen, bezeichnen wir den Mittelpunkt 
einer Kugel mit x 0 /y 0 /z 0 , ihren Halbmesser mit R, so dass 
(3) (| — x o y + (v — y o y + (S — *o) 2 = -ß 2 
ihre Gleichung ist, und schreiben der Kugel zunächst nur vor, dass 
sie durch den Punkt M gehe; dies gibt die Bedingungsgleichung 
(4) (x — x 0 f + (y — y o y + 0 — %) 2 = R 2 - 
Nun wählen wir auf C einen dem M benachbarten Punkt 
M x mit dem Parameterwerte s -f- h, dessen Coordinaten sich 
(176) wie folgt ausdrücken; 
x x = x + h cos a -f y q cos A + \ + G 
^2 h S d 3 y 
Vi = V + Ä cos ß -f — cos (i + — + f 2 
. 7 . h 2 . h 9 d*z . 
*1 = * + Ä cos y -I- — COS V + — jp- + £ 3