Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung u. s. w. 483 
selben und M'M die Tangente in diesem Punkte an C und 
zugleich Normale in M zur Curve C, so erfolgt , sobald M 
auf C sich zu bewegen beginnt, eine momentane Drehung von 
MM’ um den Punkt M'\ gleichzeitig dreht sich die Normal 
ebene von M augenblicklich um die Krümmungsaxe des Punktes 
M; soll demnach M'M normal bleiben zur Curve C, so muss 
M auf der Krümmungsaxe liegen. Es gehört also der einem 
beliebigen Punkte M zugeordnete Punkt M der Evolute der 
Krümmungsaxe von Jf an, folglich liegt 
die ganze Evolute auf der Polarfläche. 
Um die Evoluten analytisch zu 
charakterisiren, seien die Coordinaten 
des Punktes M einer solchen mit 
x, y, s, sein Abstand von der Oscu- 
lationsebene mit 6 bezeichnet mit 
der Festsetzung, dass 6 positiv oder 
negativ ist, jenachdem die Strecke 
ilM', Fig. 102, die positive oder 
negative Richtung der Binormale hat-, für den Punkt M wer 
den alle bisher eingeführten Bezeichnungen beibehalten. 
Die Coordinatendifferenzen der Punkte M und M ergeben 
sich durch Projection des rechtwinkligen Linienzuges MilM' 
auf die drei Coordinatenaxen wie folgt: 
ix'— x = q cos A -f- 6 COS (jp 
(12) \y' — y = Q cos y -J- 6 COS 
1 z — s — p COS V -f- 6 COS X . 
Diese Coordinatendifferenzen sind den Cosinussen der Rich 
tungswinkel von MM' proportional; denselben Richtungscosi 
nussen sind aber, da MM' Tangente an die Evolute ist, auch 
die Quotienten ~ proportional; daher bestehen die 
Relationen 
x — x ’ d x ’ V — V dy z — z dz’ 
^ ' p ds ’ p ds ’ p ds ! 
wobei p den Proportionalitätsfactor bedeutet. Führt man die 
erste dieser Relationen auf Grrund von (12) und der Frenet- 
schen Formeln durch, so ergibt sich 
Fig. 102.