>n ab- 
mnale 
102). 
irden: 
i steht 
'unkte. 
lübten 
■fläche 
[Inder, 
fce ist; 
inzige 
irüm- 
dem 
Oscu- 
volute 
enten- 
e der 
Fe der 
nmen- 
igkeit 
m.] 
ifestalt 
et die 
schne 
it. 
• - • • ■ 
Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential - Rechnung u. s. w. 487 
Die krumme Fläche sei durch die Gleichung 
(1) 0 = f{x, y) 
gegeben; durch den Punkt M, Fig. 103, derselben mit den 
Coordinaten x/y/z gehe eine Curve C, dargestellt durch die 
Gleichungen 
(2) x = x(s), y = y{s), * = «(«), 
in welchen s den von dem festen Punkte M 0 aus gezählten 
Bogen M 0 M bedeutet; weil die Curve auf der Fläche liegt, so 
müssen die Gleichungen (2) die Gleichung 
(1) identisch erfüllen. Aus der Gleichung 
(3) dz = pdx -f- qdy, 
welche für die Coordinaten der Curve 
Geltung hat, ergibt sich, wenn man sie 
durch das Bogendifferential 
ds = ]/dx 2 + dy 2 -f- dz 2 
= ]/(l -|-jp 2 )(Za? 2 -f-(l -]-q 2 )dy^-{-2pqdxdy 
der Curve dividirt, die Beziehung 
(4) cos y — p cos a q cos ß 
zwischen den Richtungscosinussen der Tangente MT. 
Durch Differentiation von (4) in Bezug auf s erhält man 
unter Zuhilfenahme der Frenet’sehen Formeln 
Fig. 103. 
(m /S 
AP 
j) COS 3. + g COS fl /dx s dy\ cosa 
Q \ U/S U/S / 
oder 
— P COS l — q COS U 4- COS V 9io o i j. 2 a 
—A i —-1 == r cos J a -f- 2 s cos a cos ß -f- t cos z ß 
Es sind aber (182, (16)) 
(5) -P . “i i 
Vp* + + 1 Vp 2 + (T + 1 Vp* + <T + 1 
wenn die Quadratwurzel positiv genommen wird, die Cosinusse 
für diejenige Richtung MN der Flächennormale in M, welche 
mit der z- Axe einen spitzen Winkel einschliesst; cosA, cos y, 
Gosv hingegen die Cosinusse der positiven Richtung MH der 
Hauptnormale von C in Af; demnach bedeutet