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Erster Theil. Differential-Rechnung. 
K 2 und K 2 ' gehören derselben Schar an. Das von diesen vier 
Krümmungslinien begrenzte Element S = kann 
dann bei entsprechender Kleinheit wie ein ebenes Rechteck durch 
S = MM t ■ MM 2 
ausgedrückt werden. Das sphärische Bild desselben, g g 2 , 
wird gleichfalls rechte Winkel haben und sich dem Inhalte 
nach durch 
№ 
ausdrücken lassen. Bezeichnet man weiter den Winkel der 
Normalen in M und M 1 mit t 1} den Krümmungshalbmesser 
des K x in M berührenden Hauptnormalschnittes mit Rden 
Winkel der Normalen in M und M 2 mit r 2 und den Krüm 
mungshalbmesser des K 2 in M berührenden Hauptnormal 
schnittes mit i? 2 ; so ist, je enger die Krümmungslinien zu 
sammenrücken, um so genauer 
MM X = R v x x ‘ fifiy — ; 
MM 2 = R 2 x 2 ; gg 2 == T 2 ; 
daher 
S = R x R 2 %y x< 
2J = x 1 t 2j 
l 2 L 1 l 2 7 
und die Krümmung der Fläche im Punkte M 
K = ’ 
Hiernach ist die Krümmung der Fläche im Punkte M 
gleich dem Producte der Hauptkrümmungen; sie ist positiv für 
einen elliptischen, negativ für einen hyperbolischen, Null für einen 
parabolischen Punkt der Fläche. 
Man nennt K im Gegensätze zu andern später vorgeschla 
genen Krümmungsmaassen das Gauss’sehe Krümmungsmaass 
oder auch die totale Krümmung. Neben dieser wird mitunter 
auch die Summe*) der beiden Hauptkrümmungen 
(10) 
als mittlere Krümmung der Fläche in dem betreffenden Punkte 
in Betracht gezogen. Die analytischen Ausdrücke für beide 
*) Oder die halbe Summe.