Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung u. s. w. 517 
laut (15) aber ist 
r cos 2 a -f- 2s cos a cos ß -(- t cos 2 /1 = 0, 
folglich auch 
Hie asymptotische Linie berührt also in jedem Punkte einen 
Normalschnitt von der Krümmung Null. 
Solche Normalschnitte existiren jedoch nur in hyperboli 
schen und in parabolischen Punkten. 
In einem hyperbolischen Punkte gibt es solcher Normal 
schnitte zwei, und ihre Tangenten sind die Asymptoten der 
Dupin’sehen Indicatrix (200). Auf einer Fläche oder einer 
Flächenregion mit hyperbolischen Punkten lassen sich also zwei 
Scharen von asymptotischen Linien verzeichnen; in jedem Punkte 
schneiden sich zwei Linien, aus jeder Schar eine, und ihre Tan 
genten sind die Asymptoten der Indicatrix oder die Haupttan 
genten der Fläche. 
Der letztere Umstand begründet den Namen der asympto 
tischen Linien, neben welchem auch der Name „Haupttangen- 
tencurven“ gebräuchlich ist. 
Die beiden Scharen asymptotischer Linien schneiden sich 
im allgemeinen unter schiefen Winkeln; nur in Punkten, wo 
die Indicatrix aus gleichseitigen Hyperbeln sich zusammensetzt, 
erfolgt der Schnitt rechtwinklig. Es gibt Flächen, wo dies 
durchwegs geschieht; die Wendelfläche ist ein Beispiel dieser 
Art (204, 2)). 
In einem parabolischen Punkte fallen die beiden Normal 
schnitte von der Krümmung Null in einen zusammen; Hat 
die Fläche oder Flächenregion nur parabolische Punkte, so 
vereinigen sich die beiden Scharen asymptotischer Linien zu 
einer einzigen. Auf einer abwickelbaren Fläche liegen also die 
beiden Scharen asymptotischer Linien vereinigt und werden durch 
die geradlinigen Erzeugenden der Fläche dargestellt. 
Auf einer Fläche oder Flächenregion mit elliptischen 
Punkten gibt es keine reellen asymptotischen Linien. 
Wenn eine Fläche aus Regionen mit hyperbolischen und 
aus solchen mit elliptischen Punkten besteht, wie dies bei 
spielsweise bei dem 185, 3) erwähnten Torus der Pall ist, so