Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential - Rechnung u. s. w. 521 
Der zweiten Erklärung zufolge ist 
X _ Y Z 
COS 1 COS fl cos V ’ 
und zwar ist der gemeinsame Wert der drei Quotienten -f-1 
oder — 1, jenachdem die positive Richtung der Hauptnormale 
mit der positiven oder negativen Richtung der Plächennormale 
zusammenfällt. Führt man für die Richtungscosinusse der 
Hauptnormale die Werte (173, (11)) ein, so entsteht die Be 
ziehung 
(17) JL = JL = 
v ' d 2 x d*y d*z 
ds i ds 2 ds s 
und nun ist der Wert dieser Verhältnisse, mit derselben 
Unterscheidung, -(- p oder — p, wenn p den Flexionshalb 
messer von G in M bezeichnet. 
Die Tangentialebene, welche man im Punkte M an die 
Fläche legt, enthält die Tangente und die Binormale von 6r; 
projicirt man G orthogonal auf diese Ebene, so zeigt die Pro 
jection im Punkte M einen Wendepunkt (174), hat hier also die 
Krümmung Null; auch diese Eigenschaft ist charakteristisch 
für die geodätische Linie. 
Das System der Tangentialebenen, von welchen soeben die 
Rede war, wird durch eine abwickelbare Fläche eingehüllt; es 
ist die der gegebenen Fläche längs G umschriebene Develop- 
pable; in Bezug auf G selbst ist es diejenige von den drei 
einer Raumcurve zugeordneten Developpabeln, welche wir in 
191 als rectificirende Developpable von G bezeichnet haben. 
Sie heisse für den Augenblick D. Da die Osculatiöns- 
ebene von G in einem Punkte M senkrecht ist auf der Tan 
gentialebene von D in diesem Punkte, so spielt G auf der 
Fläche D ebenfalls die Rolle einer geodätischen Linie. 
Daraus folgt der Satz: Eine geodätische Linie G auf einer 
Fläche F ist auch geodätische Linie auf jener Developpabeln, 
welche F längs G umschrieben ist. 
Zur Erläuterung diene das folgende einfache Beispiel. 
Auf einer Kugel ist jeder grösste Kreis eine geodätische Linie; 
denn die (Haupt-)Normalen eines solchen sind zugleich Nor 
malen der Kugel. Die der Kugel längs eines solchen Kreises 
Czulier, Vorlesungen. I. 33**