36 
Erster Theil. Differential-Rechnung. 
z. B. lim f{x) — b, so kann f(x) in dem Intervall (a, a) als 
x—a— 0 
stetige Function angesehen werden, sofern man f(a) — b setzt. 
Man sagt, sie sei im Punkte a, und zwar zu einer Seite des 
selben, unstetig. 
4) Wenn für den innerhalb (a, ß) liegenden Wert a hei 
den beiden Grenzübergängen a — 0 und a -f- 0 für f(x) der 
Grenzwert oo zu Stande kommt, so heisst f(x) in a, und zwar 
zu beiden Seiten, unstetig. 
In den Fällen 3) und 4) wird x — a ein Unendlichkeits 
punkt der Function genannt. 
5) Unstetig heisst ffx) ferner an einer Stelle a, wenn bei 
einem der Grenzübergänge a — 0 und a -f- 0 oder bei beiden 
fix) keiner Grenze zustrebt, und kann auch hier von ein 
seitiger oder beiderseitiger Unstetigkeit gesprochen werden. 
Einen Wert x — a, für welchen eine Function fix) eine 
der hier erörterten Eigenschaften aufweist, nennt man einen 
singulären Punkt und, von dem Falle 1) abgesehen, auch einen 
Unstetigkeitspunkt. Bei den analytischen Untersuchungen müssen 
solche Punkte von der Betrachtung zumeist ausgeschlossen 
werden; man denkt sich dies dadurch erzielt, dass aus dem 
Intervall (a, ß) eine beliebig enge endliche Umgebung des 
Unstetigkeitspunktes ausgeschieden wird. 
Sind fix), g(x) zwei in dem Intervall (a, ß) stetige Func 
tionen, so sind auch die Functionen f(x)-\-g{x), f(x)—g ix) 
und fix) g(x) in demselben Intervall stetig, wie sich mit Hilfe 
der unter 17 2) angegebenen analytischen Definition der Stetig 
keit ohne Mühe und nicht blos für zwei, sondern für jede 
endliche Anzahl von Functionen erweisen lässt. Von der Func 
tion ~~ gilt dies jedoch nur dann, wenn im ganzen Intervall 
(a, ß) \g{x)\ >0 ist; wird dagegen an einer oder an mehre 
ren Stellen g{x) = 0, so ist an diesen die Function nicht 
definirt und muss ihr Verhalten in der Umgebung solcher 
Stellen näher untersucht werden. 
19. Zur Erläuterung der Betrachtungen über die Stetig 
keit oder Unstetigkeit der Functionen mögen die folgenden 
Beispiele dienen.