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Erster Theil. Differential-Rechnung. 
gegeben, wenn der Grenzübergang bei unbestimmt gelassenem 
x ausgeführt wird. 
Im allgemeinen gehören zu verschiedenen Werten von x 
auch verschiedene Werte von fix); es gibt jedoch einen — und 
nur diesen einzigen — Fall, wo zu allen Werten von x der 
selbe Wert von fix) gehört, die Function an allen Stellen 
sich gleich stark ändert; es ist dies die rationale ganze Function 
ersten Grades f(x) = ax b' denn für sie ist der Differenzen- 
,. , a(x 4- h) 4- h — (ax + fr) , , 
quotient ——■—- —- — a, also auch 
D x {ax -f■&) = «; 
das geometrische Bild dieser Function — eine Gerade — 
spricht dies in vollster Deutlichkeit aus. 
Setzt man in der letzten Formel a = 0, so sagt sie, dass 
(4) D x b = 0, 
dass also der Differentialquotient einer constanten Function oder 
einer Constanten kurzweg Null ist; mit a — 1 und b = 0 
ergibt sich das oben schon gefundene Resulat 
(5) D x x = 1, 
dass der Differentialquotient der Variabein x selbst die Ein 
heit ist. 
Die Existenz eines endlichen Differentialquotienten an einer 
Stelle x setzt die Stetigkeit der Function in der Umgebung 
dieser Stelle nothwendig voraus; denn der Quotient (1) kann 
bei gegen Null convergirendem h nicht anders einem endlichen 
Grenzwerte sich nähern, als dass auch sein Zähler gegen Null 
abnimmt, und dies findet nur im Falle der Stetigkeit in der 
(übrigens beliebig engen) Umgebung von x statt. Dagegen 
ist diese Stetigkeit kein zureichendes Merkmal dafür, dass an 
der Stelle x ein Differentialquotient existirt. Als Beispiel diene 
die Function f{x) = x sin -i-, welche für alle Werte von x definirt *) 
*) Wenn auch — für x = 0 nicht definirt ist, so muss man doch 
' x 
x sin —- als definirt betrachten und "ihm den Wert 0 zuschreiben, wenn 
x 
man sich nicht mit dem Satze in Widerspruch setzen will, dass das 
Product aus Null und einer endlichen Zahl Null ist.