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Zweiter Abschnitt. Differentiation von Functionen einer Yariabeln. 43 
und stetig ist; insbesondere geht ihre Stetigkeit in der Um 
gebung von Null aus der Bemerkung hervor, dass 
x sin — 
x 
< 
dass man also durch Wahl eines hinreichend kleinen x den 
Wert von \f{x)\ beliebig klein machen kann. Der Differential- 
quotient an der Stelle x = 0 ist aber 
h sin — 0 
lim z = lim sin -T- > 
A= + 0 11 A = + 0 h 
also völlig unbestimmt [19 5)]. 
Es ist gelungen, Functionen analytisch zu definiren, welche 
trotz ihrer Stetigkeit an unzählig vielen, ja selbst an allen 
Stellen keinen Differentialquotienten zulassen. Indessen genügt 
hier die blosse Anführung dieser Thatsache. 
22. Sobald man das Gebiet der Anwendungen der Ana 
lysis betritt, sind x und f(x) die Maasszahlen für irgend welche 
von einander abhängende Grössen und je nach der Bedeutung 
dieser letzteren erlangt auch der Differentialquotient eine spe- 
cielle Bedeutung. An dieser Stelle sollen jene zwei Fälle 
besprochen werden, von welchen die Differentialrechnung ihren 
Ausgang genommen und die für zwei grosse Gebiete von 
grundlegender Bedeutung, sind; für die Phoronomie und die 
Geometrie. 
1) Es sei x die von einem bestimmten Augenblicke an 
gezählte Zeit, welche ein in gerader Linie sich bewegender 
Punkt gebraucht hat, um den Weg f(x) zurückzulegen; dann 
ist f{x-\- h) der in der Zeit x + h vollendete, somit 
f{x -f- h) — f(x) der in dem Zeitintervall (x, x -)- h) zurück 
gelegte Weg. Wäre die Bewegung eine gleichmässige, d. h. 
eine solche, bei welcher in beliebig grossen, jedoch gleichen 
Zeitabschnitten gleiche Wege zurückgelegt werden, so stellte 
der Quotient 
f{x -f- ft) — f(x) 
h 
die Geschwindigkeit, d. i. den in einer von den Zeiteinheiten, 
in welchen x und h ausgedrückt sind, beschriebenen Weg dar. 
Auf eine ungleichmässige Bewegung lässt sich dieser Begriff