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Erster Theil. Differential-Rechnung. 
der Geschwindigkeit nicht unmittelbar übertragen; der an 
geschriebene Quotient bedeutet nunmehr die während des Zeit- 
intervalls (x, x -f- h) auf die Zeiteinheit durchschnittlich ent 
fallende Weglänge; je kürzer das Zeitintervall, umso geringer 
die TJngleichmässigkeit der Bewegung während desselben, um 
so näher rückt die Bedeutung jenes Quotienten der einer Ge 
schwindigkeit; und nähert sich der Quotient bei stetig gegen 
Null abnehmendem h einem Grenzwert, so wird dieser Grenzwert 
lim 
Ä = + 0 
f\x -f h) — f{x) 
h 
als die im Augenblicke x herrschende Geschwindigkeit erklärt. 
Wenn also f(x) den bei geradliniger Bewegung in der Zeit x 
mrückgelegten Weg ausdrückt, so hat der Differentialquotient 
fix) die Bedeutung der im letzten Augenblicke dieser Zeit herr 
schenden Geschwindigkeit. 
Mit Hilfe des Bewegungsbegriifes kann dem Differential- 
quotienten eine bemerkenswerte Deutung gegeben werden. Stellt 
man sich vor, die Variable x durchlaufe ihr Intervall (a, ß) 
gleichmässig, so durchläuft die Function ihren Bereich im all 
gemeinen ungleichmässig; bis zu dem Zeitpunkte, in welchem 
die Variable den Wert x, die Function den zugeordneten Wert 
fix) angenommen, sei die Zeit t verflossen, und in dem weiteren 
Zeitintervall t mögen die Werte x -J- h und fix-\-h) zu Stande 
kommen; dann ist = c die Geschwindigkeit, mit welcher x 
sein Intervall durchläuft und der Grenzwert von ^ 
für lim r = 0 die Geschwindigkeit, mit welcher sich f(x) im 
letzten Augenblicke der Zeit t in seinem Bereich bewegt; 
da nun 
fjx + h) — fjx) fix -f h) — fjx) 
fix -f- h) — fix) r t 
h h c 
r 
und h mit t zugleich gegen die Null convergirt, so ist der 
Differentialquotient das Verhältnis der Geschwindigkeiten, mit 
welchen x und fix) sich im gegebenen Augenblicke in ihren 
Gebieten bewegen. Man kann somit den Satz aufstellen; Ber 
Differentiolquotient einer Function fix) an einer Stelle x ist die