Zweiter Abschnitt. Differentiation von Functionen einer Yariabeln. 51 
fix) 
Mit dem Differenzenquotienten von kann nachstehende 
Transformation ausgeführt werden: 
f(x + &) _ AÜ 
9 (» + Ä) g (x) _ fix + h)g(x) — fix) g(x) -f f{x) g{x) — f(x)g(x + h) 
h 
fjx + h) - fjx) 
h 
hg(x)g{x -f h) 
g{x + h) — g (x) 
9 ix) — fix) 
h 
g(x)g{x + h) 5 
bei dem Übergange von h gegen die Grenze Null ergibt sich 
hieraus 
fix) g ix) T) x fix) — fix) D x g ix) 
(9) 
Dx 
9ix) [gix)} a 
jEs ist also der Differentialquotient eines Quotienten gleich dem 
Producte des Nenners mit dem Differentialquotienten des Zählers, 
vermindert um das Product des Zählers mit dem Differential 
quotienten des Nenners, und die Differenz durch das Quadrat 
des Nenners dividirt. 
Eine erhebliche Vereinfachung erfährt die Formel, wenn 
die Zählerfunction f(x) constant = c ist; alsdann ist 
äD x gix) 
(10) 
D x 
g{x) {gix)}* 
Setzt man hier c — 1 und g(x) = x n , wobei unter n eine 
positive ganze Zahl verstanden werden soll, so ist, weil 
D x x n = nx n ~ 1 , 
(11) D x x~ n = ~—=—nx- n - 1 . 
wodurch die Giltigkeit der Formel (8) auch für negative ganze 
Exponenten erwiesen ist. 
27. Differentiation inverser Functionen. Ist (A, E) das Ge 
biet einer in dem Intervall (a, ß) monotonen stetigen Function 
y = f(x) von x, so gehört zu jedem Werte von y aus dem 
Intervall (A, B) ein und nur ein Wert von x, so dass zugleich 
x als Function von y bestimmt ist: x = <p{y), und zwar ist x 
ebenfalls monoton und stetig; denn x und y durchlaufen ihre 
bezüglichen Intervalle (a, ■ß) und {A, B) gleichzeitig stetig. 
Man bezeichnet f(x) und cp (y) als inverse Functionen oder cp(y) 
als die Umkehrung von f(x) (12); zwischen ihren Differential 
quotienten besteht eine einfache Beziehung.