Zweiter Abschnitt. Differentiation von Functionen einer Yariabeln. 65 
33. Die cydometrischen Functionen. Die Umkehrung einer 
periodischen Function ist eine unendlich vieldeutige Function. 
Ist nämlich x = f{y) periodisch mit der Periode p, so gibt 
es unendlich viele Werte des Arguments, zu welchen ein und 
derselbe Wert von x gehört; ist «/ einer dieser Werte, so sind 
die andern durch y -f- np dargestellt, wobei n jede positive 
und negative ganze Zahl bedeuten kann; demnach hat die Glei 
chung x — f(y) bei gegebenem x unendlich viele Lösungen in 
Bezug auf «/, jedoch so, dass, wenn eine derselben bekannt ist, 
alle übrigen angegeben werden können. 
1) Es sei « = sin«/; wird x irgend ein Wert aus dem 
Intervall (—1, +1) ertheilt, so besitzt die Gleichung immer 
eine Wurzel aus dem Intervall (— y; y) ; denn während y 
dieses letztere Intervall stetig durchläuft, bewegt sich sin«/ 
stetig in dem Intervall (— 1, -f-1), ist also eine monotone 
und zwar eine wachsende Function. Diese Wurzel definirt 
demnach eine eindeutige Function, welche mit 
(A) y = arc sin x 
bezeichnet werden und Hauptwert von Arc sin x heissen soll, 
wobei unter letzterer Bezeichnung die Gesammtheit der Lö 
sungen von x = sin y zu verstehen ist. Weil sin y = sin(jt —«/) 
ist, so ist 
Der Differentialquotient der neuen Function ergibt sich 
nach 27, indem 
D x arc sin x . D y sin y — 1; 
nach Formel 32 (6) ist aber D y sin y = cos y -yr — x 2 , die 
Wurzel mit positivem Zeichen genommen, weil cos y in dem 
Intervall 
—j positiv ist; demnach hat man endgiltig 
(12) 
D x arc sin x = -■ • 
Y i — x 2 
2) Es sei ir = cos«/; die Gleichung besitzt, wenn x ein 
Wert aus dem Intervall (—1, +1) ertheilt wird, immer eine 
Lösung in dem Intervall (0, n), weil in diesem Intervall cos y 
Czuber, Vorlesungen I. 
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