Zweiter Abschnitt. Differentiation von Functionen einer Yariabeln. 73 
schwindet ihr Differentialquotient f (x) — cos x an der zwischen 
liegenden Stelle x = ~ • 
37. Wenn die Function f(x) an,jeder Stelle des Intervalls 
(cc, ß) einen Differentialquotienten besitzt, so gibt es wenigstens 
eine Stelle zwischen a und ß, an welcher der Differentialquotient 
fix) gleich ist dem Differenzenquotienten 
m - K«) 
ß Ci 
Dieser Satz wird gewöhnlich der Mittelwertsatz genannt. 
Zum Zwecke des Beweises constrniren wir mit Hilfe von 
f(x) die neue Function 
cp{x) = f{x) — f{a) — ix — a) 
welche ebenfalls an jeder Stelle zwischen a und ß einen Diffe 
rential qnotienten besitzt, da 
v'W-fW-WßW, 
und die überdies die Eigenschaft hat, dass qp(a) — 0 und 
(p(ß) = 0 ist. Demnach erfüllt die Function <p{x) die Voraus 
setzungen des Rolle’schen Satzes und gibt es daher wenigstens 
eine Stelle | zwischen cc und ß, wo g/(|) = 0, d. h. wo 
(1) 
Der Satz kann nun auf irgend zwei Stellen x und x + h, 
die in (a, ß) enthalten sind, zur Anwendung gebracht werden; 
an die Stelle von | kommt dann ein zwischen x und x + * 
gelegener Wert und einen solchen kann man in der Form 
x -f-Oh darstellen, wenn 0 < 6 < 1 ist; mithin gilt 
f(* + v-m =r(x + l3i) 
oder 
(2) f(x -}- h) — f{x) = hf ix -j- Qh). 
Diese Darstellung der Differenz zweier Functionswerte durch 
einen Zwischen- oder Mittelwert des Differentialquotienten ist 
für die Analysis von grosser Bedeutung. Einige Folgerungen 
mögen schon hier aus diesem Mittelwertsatze gezogen werden. 
Vorher möge noch der geometrische Sinn desselben er 
wähnt werden in dem Falle, wo die Function fix) durch die