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Erster Theil. Differential-Rechnung. 
Fig. 9. 
Ordinateli einer Curve dargestellt wird. Der Inhalt der For 
mel (1) ist dann der folgende. Besitzt die Curve AB, Fig. 9, 
an jeder Stelle eine bestimmte Tangente, so gibt es zwischen 
A und B mindestens einen Punkt M, in 
welchem die Tangente MT der Sehne 
AB parallel ist. 
An früherer Stelle (2l) ist erwiesen 
worden, dass der Differentialquotient einer 
constanten Function Null ist; nun kann 
auch die Umkehrung dieses Satzes bewie 
sen werden: Wenn der Di/ferentialquotient 
fix) einer Function fix) an allen Stellen 
des Intervalls (a, ß) Null ist, so ist die Function in diesem 
Intervall Constant. 
Sind nämlich x x , x 2 zwei Stellen aus (a, ß), so ist zu 
folge (1) 
f(x 2 ) — f{xf) = (x 2 — %)/"(!), 
wobei | zwischen x 1 und x 2 liegt; da aber für jedes % zwischen 
a und ß /*'(!) — 0 ist, so ist 
ffa) — f(. X l) = °; 
also f{xf) — f{xf)- wenn aber jede zwei Werte von f{x) aus 
dem Intervall (a, ß) einander gleich sind, so hat die Function 
einen constanten Wert. 
Aus diesem Satze folgt der weitere: Wenn zwei Functio 
nen fix), (p(x) in einem Intervall (cc, ß) gleiche Differential 
quotienten haben, so können sie sich nur um eine Gonstante von 
einander unterscheiden. 
Denn aus 
folgt auch 
und daraus 
fix) = <p\x) 
D x [f(x) - <p(»)] = 0 
f{x) — cp ix) = C, 
wobei C eine Constante bedeutet. 
In Artikel 34 wurde gezeigt, dass der Differentialquotient 
einer in dem Intervall («, ß) beständig wachsendem (abnehmen 
den) Function niemals negativ (positiv) ist; auch die Umkeh 
rung dieses Satzes kann jetzt bewiesen werden: Wenn der