76 
Erster Theil. Differential-Rechnung. 
gegen der Voraussetzung. Die Function ip(x) hat nun im 
Intervall («, ß) einen Differentialquotienten, nämlich 
1p {x) = f (x) cp (^)*g,(ßj — (f(cc)’ 
und es ist = 0, if>(ß) — 0; folglich existirt nach dem 
Satze von Rolle mindestens eine Stelle | zwischen cc und ß, 
wo ^'(|) = 0, d. h. wo 
m AP) - f(*) _ rm 
V ) cp(ß) — g>(a) cp'ß) 
Die Formel kann wieder auf zwei beliebige Stellen x und 
x -f- h aus («, ß) angewandt werden und lautet dann 
(2) 
f{x + h) — f(x) fix + Qh) . 
(p{x -f- h) — <p{%) cp'{x Üh) ^ ^ 
Setzt man cp(x) = x, wodurch den Voraussetzungen des 
Theorems Genüge geleistet ist, so gehen die Formeln (1) und 
(2) in die gleichbezeichneten in Art. 37 über. 
§ 5. Die höheren Differentialquotienten und Differentiale. 
39. Wenn die in dem Intervall (a, ß) stetige Function 
f(x) an allen Stellen des Intervalles einen Differentialquotienten 
besitzt, so constituiren die Werte dieses Differentialquotienten 
mit den zugehörigen Werten der Variabein eine neue Function 
im Intervall («, ß), welche die Ableitung oder Derivirte oder 
auch der Differentialquofient von f(x) genannt und mit 
f{x) oder B x f{x) 
bezeichnet wird. 
Ist f"(x) wieder stetig im ganzen Intervall (a, ß) oder in 
einem Theile desselben oder mit Ausschluss einzelner Stellen, 
und lässt es wie f(x) eine Ableitung zu, so wird diese die 
zweite Ableitung oder der zweite Differentiolquotient von f(x) 
genannt und mit 
f"(x) oder JD’lfix) 
bezeichnet. Begrifflich stellt dies Zeichen also jene Function 
dar, welche an der Stelle x bestimmt ist durch 
lim 
a= + o h