Erster Theil. Differential-Rechnung. 
gegen die Grenze Null abnehmendem h gegen einen bestimmten 
Grenzwert, so wird dieser Grenzwert 
lim r» + *) ~ rW 
Ä= + 0 fl 
als die im letzten Augenblicke der Zeit x herrschende Be 
schleunigung erklärt. 
Drückt also f(x) den hei geradliniger Bewegung in der Zeit 
x zurückgelegten Weg aus, so hat der zweite Differentialquotient 
f"(x) die Bedeutung der im letzten Augenblicke der Zeit x herr 
schenden Beschleunigung. 
40. Zur Bildung der höheren Differentialquotienten einer 
Function bedarf es neuer Regeln nicht, da es auf wiederholte 
Bildung des ersten Differentialquotienten ankommt. Wenn es 
sich jedoch darum handelt, für den allgemeinen oder wten 
Differentialquotienten eine independente Formel aufzustellen, 
dann führt das directe Verfahren nur in einigen wenigen Fällen 
zum Ziele. In einigen andern Fällen kann man sich dadurch 
helfen, dass man die Function als Summe oder als Product 
einfacher Functionen darstellt, deren allgemeine Differential 
quotienten in independenter Form bekannt sind. 
I. Directes Verfahren. 1) Für fix) — x m ergibt sich durch 
successive Differentiation 
Dx m —maf n ~ 1 } D 2 x m =m(m—l)x m ~ 2 , . .. 
so dass 
(1) D n x m = m(m — 1) • • • (m — n -f- l)x m ~”. 
Lässt man ax -f- h an die Stelle von x treten, so ändert sich 
die Formel nur insoweit, dass rechts der Factor a n hinzu 
kommt, weil bei jedesmaliger Differentiation mit dem Diffe 
rentialquotienten von ax -f- h, d. i. mit a multiplicirt werden 
muss (25 (7)); es ist also 
(2) D n (ax -f- h) m = m(m— 1) • • • (m]— n -f- 1 )a n {ax -f- h) m ~ n . 
Ist m eine positive ganze Zahl, so wird der wte Differen 
tialquotient eine Constante 
D m x m = m(m — 1) • • • 1 
und alle höheren sind Null. In jedem andern Falle kann die Bil 
dung der Differentialquotienten unbeschränkt fortgesetzt werden.