Dritter Abschnitt. Differentiation von Punktionen mehrererYariablen. 101
Punkt eine den Bereich P durchsetzende Kurve KL. Da y
dabei eine Funktion von x ist, so erscheint z = f{x, y) in
dieser Auffassung als Funktion von x allein, und ist es eine
stetige Funktion von x (17), so beschreibt der Punkt xjy/z oder
F eine Kurve im Baume; wir wollen dann sagen, z = f(x, y)
sei längs der Kurve KL stetig.
Ist z = f(x, y) längs jeder den Bereich P durchsetzenden
Kurve stetig, so heißt f(x, y) eine im Bereiche P stetige Funktion.
Von den Eigenschaften einer solchen Funktion heben wir
die folgende hervor.
Wenn die Funktion fix, y) in dem Bereiche P stetig ist, so
läßt sich an jeder Stelle xfy innerhalb des Bereichs zu einem
beliebig klein festgesetzten positiven e ein hinreichend kleines posi
tives y bestimmen derart, daß für jede Wertverbindung x'/y',
für ivelche [ x — x | < y und | y — y 1 < y,
(1) \f{x, y) -f{x,y)\< £.
In der geometrischen Darstellung hat dieser Satz die Be
deutung, daß zu dem Punkte M{xjy) als Mittelpunkt eine
Umgehung aß yd in Form eines Quadrates von einer so kleinen
Seite 2 rj sich konstruieren läßt, derart, daß der zu einem be
liebigen Punkte M' dieser Umgebung gehörige Funktionswert
sich von dem zu M gehörigen dem Betrage nach um weniger
als s unterscheidet.
Die Richtigkeit des Satzes geht aus der Definition der
Stetigkeit im Bereiche P hervor. Auf jeder durch P geführten
Richtung läßt sich zu jeder Seite von M ein Grenzpunkt,
M 1 zur einen, M 2 zur anderen, angeben, derart, daß für jeden
zwischen M lf M 2 auf dieser • Richtung liegenden Punkt die
Beziehung (1) gilt (17 (1)). Denkt man sich dies für alle
Richtungen ausgeführt, so wird es unter den Grenzpunkten
einen geben, welcher am wenigsten von M abweicht, und
dieser bestimmt die verlangte Umgebung*).
Man bezeichnet die in dem Satze ausgesprochene Eigen
schaft als Stetigkeit der Funktion fix, y) an der Stelle xfy;
*) Man lege durch diesen Punkt einen Kreis vom Zentrum M und
schreibe diesem ein nach den Achsen orientiertes Quadrat ein.