Full text: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung (1. Band)

Dritter Abschnitt. Differentiation von Punktionen mehrererYariablen. 101 
Punkt eine den Bereich P durchsetzende Kurve KL. Da y 
dabei eine Funktion von x ist, so erscheint z = f{x, y) in 
dieser Auffassung als Funktion von x allein, und ist es eine 
stetige Funktion von x (17), so beschreibt der Punkt xjy/z oder 
F eine Kurve im Baume; wir wollen dann sagen, z = f(x, y) 
sei längs der Kurve KL stetig. 
Ist z = f(x, y) längs jeder den Bereich P durchsetzenden 
Kurve stetig, so heißt f(x, y) eine im Bereiche P stetige Funktion. 
Von den Eigenschaften einer solchen Funktion heben wir 
die folgende hervor. 
Wenn die Funktion fix, y) in dem Bereiche P stetig ist, so 
läßt sich an jeder Stelle xfy innerhalb des Bereichs zu einem 
beliebig klein festgesetzten positiven e ein hinreichend kleines posi 
tives y bestimmen derart, daß für jede Wertverbindung x'/y', 
für ivelche [ x — x | < y und | y — y 1 < y, 
(1) \f{x, y) -f{x,y)\< £. 
In der geometrischen Darstellung hat dieser Satz die Be 
deutung, daß zu dem Punkte M{xjy) als Mittelpunkt eine 
Umgehung aß yd in Form eines Quadrates von einer so kleinen 
Seite 2 rj sich konstruieren läßt, derart, daß der zu einem be 
liebigen Punkte M' dieser Umgebung gehörige Funktionswert 
sich von dem zu M gehörigen dem Betrage nach um weniger 
als s unterscheidet. 
Die Richtigkeit des Satzes geht aus der Definition der 
Stetigkeit im Bereiche P hervor. Auf jeder durch P geführten 
Richtung läßt sich zu jeder Seite von M ein Grenzpunkt, 
M 1 zur einen, M 2 zur anderen, angeben, derart, daß für jeden 
zwischen M lf M 2 auf dieser • Richtung liegenden Punkt die 
Beziehung (1) gilt (17 (1)). Denkt man sich dies für alle 
Richtungen ausgeführt, so wird es unter den Grenzpunkten 
einen geben, welcher am wenigsten von M abweicht, und 
dieser bestimmt die verlangte Umgebung*). 
Man bezeichnet die in dem Satze ausgesprochene Eigen 
schaft als Stetigkeit der Funktion fix, y) an der Stelle xfy; 
*) Man lege durch diesen Punkt einen Kreis vom Zentrum M und 
schreibe diesem ein nach den Achsen orientiertes Quadrat ein.
	        
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