Dritter Abschnitt. Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen. Hl 
Die wirkliche Änderung ist 
7t {x + dx) 2 (y + dy) — Ttx^y = 2nxydx + 7tx 2 dy -f 2%xdxdy 
+ Ttydx 2 + Ttdx 2 dy\ 
unterdrückt werden also 2 Ttxdxdy, icydx 2 und Ttdx 2 dy, Be 
träge, die in hezug auf dx, dy von zweiter, beziehungsweise 
dritter KleinheitsOrdnung sind. Es ist nicht schwer, die beiden 
Teile von dv geometrisch zu interpretieren. 
3) In einem ebenen Dreieck ändern sich eine Seite x und 
die beiden ihr anliegenden Winkel y, z um die Beträge dx, dy, 
dz beziehungsweise; es ist die daraus hervorgehende Änderung 
der Dreiecksfiäche zu bestimmen. 
Die Fläche des Dreiecks ist 
x 2 sin y sin z 
U 2 sin {y -f- z) ’ 
daraus folgt 
du x sin y sin z 2 u 
d x sin (y -)- z) x ’ 
du x i cos y sin z x 2 sin y sin z cos{y -f- z) 
dy 2 sin ly -J- z) 2 sin 2 {y -f- z) 
= U cotg y — u cotg (y 4- z) 
d u x 2 sin y cos z x 2 sin y sin z cos {y + z ) 
dz 2 sin (y -j- z) 2 sin 2 (y -f z) 
= U cotg Z — U cotg (y -f z) 
also ist du = u + {cotg y — cotg (y + z)} dy 
+ {cotg z — cotg (y + z)} dzy 
Es sei beispielsweise 
x = 500 m, y = Y ( 45 °) 7 
dx = 0,01 m, dy = arc 5" = 0,000 024 24, dz = arc 10" = 0,000 048 48; 
mit diesen Daten berechnet sich zunächst 
m = 45 753- 17 m 2 
und weiter 
du = 45753,17 [0,0000400 + 0,0000354 + 0,0000354] = 5,07 m 2 ; 
die direkte Rechnung der Fläche mit den geänderten Daten liefert 
u'= 45 758,26 m 2 , 
woraus die wirkliche Änderung hei auf zwei Dezimalen an 
gelegter Rechnung u — u = 5,09 m 2 sich ergibt.