Dritter Abschnitt. Differentiation vonFunktionen mehrererYariablen. 115 
Aus der Vergleichung von (1) und (2) geht hervor, daß 
es positive echte Brüche 6, 6, 0", 6'" gibt derart, daß 
f 12 {x + Oh, y + O'k) = f n {x + 0"'h, y + 0"k) ; 
sind nun f x ^{x,y), f n (x, y) an der Stelle x¡y stetige Funk 
tionen von x, y, so führt die letzte Gleichung für gegen + 0 
konvergierende h, k zu 
f\Á x > y) = fnipt y)> 
in andern Zeichen 
(Sl z = ^ z • 
^ ' cxdy dycx 
Existieren also an der Stelle x/y und in der durch die 
Intervalle (x — h, x -f h), (y — k, y + ic) gekennzeichneten Um 
gehung dieser Stelle die Differentialquotienten fxd~’ 
d 2 z 
J —, und sind sie dortseihst stetige Funktionen von x, y, so ist 
an dieser Stelle 
d 2 z d 2 z 
dxdy cydx 
Erfüllt die Funktion fix, y) in ihrem ganzen Gebiete die 
angeführten Bedingungen, so findet die Gleichung (3) an jeder 
Stelle statt. Der Inhalt dieser Gleichung läßt sich dahin for 
mulieren, daß das Resultat der sukzessiven Differentiation einer 
Funktion nach zwei verschiedenen Variablen von der Reihen 
folge, in welcher man die beiden Differentiationen ausführt, nicht 
ahhängt. 
Diese wichtige Tatsache läßt sich nun auch auf mehr als 
zwei Differentiationen und auch auf mehr als zwei Variable 
ausdehnen. Soll die Funktion z = f(x, y) zweimal in bezug 
auf x und einmal in bezug auf y differentiiert werden, so zeigt 
das für die Multiplikation dreier Faktoren gültige Schema 
xxy = x{xy) = xiifx) = {xy)x = iyx)x = yxx, 
in welchem immer nur zwei aufeinanderfolgende Buchstaben 
vertauscht worden sind, daß es gleichgültig ist, ob man die 
Differentiationen in der Ordnung xxy oder xyx oder yxx