118 Erster Teil. Differential-Rechnung, 
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d 2 Z 
2 xy d 2 z 
2 xy 
dx 2 
(x 2 +yY ’ dif 
{x 2 + y 2 ) 2 
d 2 z 
x 2 + y 2 — 2y 2 
y 2 — x 2 
dxdy 
d 2 z 
(* 2 + yY 
x 2 -f- y 2 — 2 x 2 
{x 2 +yY 
lf- — X 2 
dydx 
{x 2 + yY 
(x 2 +yY : 
also tatsächlich ^-5- = T • 
dxdy cyöx 
3) Es ist zu zeigen, daß die Gleichung 
d 2 z 2 2/ 2 d 2 z 
d x 2 Z x 2 dy 2 
durch die Funktion 
z _ ^Vx^ + xy 
befriedigt wird. 
54. Totale Differentialquotienten und Differen 
tiale höherer Ordnung. In 47 ist für den totalen Differential 
quotienten in der Richtung 8(cp, ip) einer Funktion z = f(x, y), 
welche an der Stelle xjy die dort angeführten Bedingungen 
erfüllt, der Ausdruck 
dz dz .dz 
-j- = ö- cos w + cos if/ 
ds dx T cy 
gefunden worden; die Bildungsweise desselben spricht sich 
darin aus, daß man die partiellen Differentialquotienten mit 
den zugeordneten Richtungskosinussen zu multiplizieren und die 
Produkte zu addieren hat. 
Sofern nun die Funktion z an der Stelle xjy auch alle 
partiellen Differentialquotienten 2., 3., ... «-ter Ordnung zu 
läßt, und sofern diese stetig sind, besitzt sie auch höhere 
totale Differentialquotienten in der Richtung 8; der zweite 
totale Differentialquotient ist: 
d 2 z 
ds 2 
dx 
cos cp 
0 dz 
o -j- 
ds 
-5— cos xlf; 
dy r ’ 
führt man aber die rechts angedeuteten Differentiationen aus, 
wobei zu beachten ist, daß cos cp, cos xp konstant sind, so 
findet sich;