120 
Erster Teil. Differential-Rechnung. 
mithin auf Grund der Ergebnisse in 52: 
ds s dx 
d 3 z d s z 3 , o d 3 z 2 
= -K „ cos ö cp + o cos“ cp cos ib 
t cx.oy T 
d 3 z 
, C\ O & O . , 0 % 9, 
+ o ö—ö—• COS Cp COS J ib -f -i COS d i<. 
dxdy 2 T dy 3 
Durch Multiplikation mit ds 3 entsteht das dritte totale 
Differential 
(7) ä^-^dx’+S^Wdy + Z^dxdy’ + ^df, 
wofür wieder symbolisch geschrieben werden kann: 
™ / d i • d 
d s z = (-K— dx + -p— dx] z. 
\dx cy / 
Die Richtung, für welche das totale Differential gilt, ist jedes 
mal bestimmt durch 
dx 
= cos cp, 
dy 
= COS Ip. 
Ydx 2 -f- dy 2 \ T7 ]/dx 2 -\-dy 2 
Durch vollständige Induktion kann das Bildungsgesetz des 
w-ten totalen Differentialquotienten und des w-ten totalen Dif 
ferentials erschlossen werden. Wäre nämlich erwiesen, daß 
d n z o n z . [n\ c n z x 
S-n = p—ä COS” cp + . —j— cos” cp cos ^ 
ds n dx n * \l J dx tl ~ 1 dy 
+ L — cos” cpcos 2 if-\ h ^cos”^, 
\2) dx n ~ i dy 2 dy 
so folgte aus dem eben entwickelten Vorgänge 
r + 1 z 
ds n + 1 
d n '~z 
— cos" cp 
|M+ 1 
dx 
n\ d n + 1 
, /n\ d + z „ , , . /n\ o n+ z o o . . 
-f L ) p COS” -1 cp COS i< + „ 1 COS” - 1 cp COS J l\) 4- 
^\l dx n dy r * \2J dx n ~ l dy 2 
+ 
cos-cosy 
fS n + 1 z 
+ VfofTv v 
. (n\ d n + 1 Z . . 
+ U)^%* ms > cos ' i ’+ 
+ 
dy 
n + 1 
cos” 
cos ^