Dritter Abschnitt. Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen. 123 
(df du cf dv \ . [ cf . df 
= (äü d'x + d~v dTx + ‘' 7 Ax + V?i du + ^ äU + 
-f- z/ M -(- £2 z/ ^ “l 
z/# 
und 
A y cf du df dv 
A x du dx ' dv dx 
+ ( 
df . df , 
Au A v 
A x ' £s A x ' 
konvergiert nun /ix gegen den Grenzwert Null, so nähern sich 
die in Klammern eingeschlossenen Teile der rechten Seite auch 
dieser Grenze, infolgedessen ist 
dy 
dx 
(1) 
df du df dv 
du dx ' dv dx T 
Durch Multiplikation mit dx ergibt sich daraus das Differen 
tial von y, nämlich 
(2) d y = ^, dw + ^ dv + ---- 
Der Differentialquotient der zusammengesetzten Funktion wird 
also gefunden, indem man ihre partiellen Differentialquotienten in 
bezug auf u, v, . . . mit den entsprechenden Differentialquotienten 
von u, v, .. . in bezug auf x multipliziert und die Produkte 
addiert; das Differential gestaltet sich ebenso, als ob u, v, . . . 
unabhängige Variable ivären. 
Bevor wir zu weiteren Ausführungen schreiten, sei be 
merkt, daß die Formel (1) bereits anderweitig abgeleitete 
Resultate als spezielle Fälle enthält. So fällt ihr Inhalt bei 
Beschränkung auf das erste Glied der rechten Seite mit dem 
Satze 28, (15) zusammen. Ist ferner y = f(u, v, w,. . .) 
= uvw . . ., also 
df_ 
du 
= vw•• • 
cf 
dv 
uw • ■ ■ 
K 
dw 
= uv • • •, 
so gibt (1) 
d(uvw ■ ■ •) 
du 
, = -3— VW 
dx d x 
d v 
U IV 
dx 
+ UV 
div 
dx 
+ • 
eine in 25 bereits abgeleitete Formel. Wenn weiter 
V = f(u, v) = u% 
so ist 
df 
du 
= vu” 
1 
~ — = u v lu 
cv 
J