128 t 
Erster Teil. Differential-Rechnung. 
gleich Null und bleibt es, wenn sich M 1 statt in der Richtung 
M(S) längs KL dem Punkte M nähert; dabei nähert sich 
die Richtung M(S) der Richtung M.{T) der Tangente an KL 
im Punkte M, folglich ist auch 
df df . df , n 
J s ~s* eoi "r' + Fv eos ' 1 '- 0 ’ 
wo cp, xf die Winkel der Tangente mit M{K) und M{Y) be 
zeichnen; da nun 
cos ib ,. 1c dy 
—- = hm , = / , 
c°s qp /(= + 0 ft dx' 
so fällt die voranstehende Gleichung mit der Gleichung (8) 
zusammen. 
Die Gleichung (8) bezeichnen wir als das Ergebnis der 
Differentiation der Gleichung (7) in bezug auf #; sie wird ge 
bildet, indem man die linke Seite von (7) zuerst partiell nach 
x differentiiert, dann den partiellen Diflferentialquotienten nach 
y mit dem Differentialquotienten von y nach x multipliziert 
und die Summe beider Ausdrücke gleich Null setzt. 
Wendet man die gleiche Regel auf die Gleichung (8) an, 
so ergibt sich unter Voraussetzung der Existenz der zweiten 
partiellen Diflferentialquotienten von f{x, y): 
o*f , .<?V dy df d*y r d*f d*f dyl dy = q 
dx 2 dxdy dx ' oy dx 2 ' Ldxdy ‘ dy 3 dxJdx 
oder, wenn man reduziert: 
(10) 
d*f . o Pf d y d*f /dy\ 2 df d i y ft 
dx 2 w dxdy dx dy 2 \dxj ' dy dx 8 
aus welcher Gleichung sich eine Bestimmung für ergibt, 
nachdem man für den Wert aus (9) eingesetzt hat. 
Behufs Ermittelung des dritten Diflferentialquotienten d . \ 
cl cc 
müßte die Gleichung (10) abermals in bezug auf x diflferentiiert 
werden, usw. 
Ist durch die Gleichung (7) y als mehrdeutige Punktion 
definiert, so setzen wir voraus, daß die Werte von y nach dem 
Gesetze der Stetigkeit in Zweige gesondert sind, d. h. so, daß 
y mit x stetig sich ändert (io). Die obige Rechnung erledigt 
die Frage nach den Diflferentialquotienten von y für alle Zweige