Dritter Abschnitt. Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen. 137 
3) Man bestimme aus der Gleichung 
x 2 + y 2 + z 2 + yz + zx -f- xy = 2 a 2 
die ersten und zweiten Ableitungen von z. 
62. Implizite Funktionen, gegeben durch simul 
tane Gleichungen. Im Bereiche R seien cp{x, y, z) und 
ip(x, y, z) als eindeutige stetige Funktionen von x : y, z gegeben; 
besitze längs einer das Gebiet R durchsetzenden Fläche den 
Wert cc, ip längs einer anderen Fläche durchwegs den Wert ß- 
beide Flächen mögen sich nach einer ebenfalls R durchsetzen 
den Linie schneiden; dann entspricht jedem Punkte dieser Linie 
eine Wortverbindung x/yjz, für welche cp = cc, ip = ß ist; die 
y dieser Wortverbindungen konstituieren eine Funktion von x 
und ebenso bilden die z dieser Wertverbindungen eine Funktion 
von x für ein gewisses Intervall dieser letzten Variablen. Wir 
drücken diesen Sachverhalt dadurch aus, daß wir sagen, durch 
die simultanen Gleichungen 
f cp 0, y,z) = a 
U (x, y, e) = ß 
seien y, z implizite als Funktionen von x gegeben. Um die 
Differentialquotienten dieser Funktionen zu bestimmen, diffe- 
rentiiere man die linken Seiten als zusammengesetzte Funktionen 
von x und setze die Resultate der Null gleich, weil es sich 
um konstante Funktionen handelt; dadurch erhält man die 
Gleichungen: 
(24) 
(25) 
dcp dcp dy dcp dz „ 
dx'dydx' d z dx 
dip. drpdy dip dz ^ 
d x ' d y dx ' dz dx 
zur Bestimmung von 
daß die Determinante 
dy 
dx’ 
dz 
dx 
; die Lösbarkeit setzt aber voraus, 
d cp 
dz 
dip 
Je 
= X 
von Null verschieden 
weiter zur Abkürzung 
c cp 
dy 
dip 
dy 
sei: ist dies der Fall und setzt man