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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Bei geometrischer Interpretation lassen die Gleichungen 
(1) und (1*) zwei wesentlich verschiedene Deutungen zu, 
welche kurz auseinandergesetzt werden sollen. 
I. Sind x, y die Koordinaten eines Punktes M der Ebene 
in bezug auf ein bestimmtes, z. B. rechtwinkliges Koordinaten 
system und u, v die Koordinaten desselben Punktes in bezug 
auf ein zweites System, so bestimmen die Gleichungen (1) und 
(1*) eine Koordinatentransformation und vermitteln insbesondere 
die Gleichungen (1) den Übergang vom ersten System zum 
zweiten, die (1*) den Übergang vom zweiten zum ersten. Geht 
du 
durch den Punkt M eine Kurve, so bestimmt die Richtung 
dx 
der Tangente an dieselbe (22, (2)) und ist ^ für die nämliche 
Richtung bestimmend, jedesmal in einer dem Koordinaten 
system entsprechenden Weise. 
Einen der wichtigsten Fälle dieser Art 
bildet die Transformation rechtwinkliger 
Koordinaten in Polarkoordinaten, wobei der 
Ursprung und die positive Abszissenachse 
des ersten Systems als Pol, bezieh ungs- 
Vig. 16. 
Y\ 
M 
~q'"&— J weise Polarachse verwendet werden (Fig. 16). 
Dann ist u = r der Radiusvektor und v = cp 
die Anomalie des Punktes M- die Gleichungen (1) lauten: 
x — r cos (p 
y = r sin (p 
(4) 
und jene (1*) 
wobei die Eindeutigkeit der letzten Gleichung dadurch herbei 
geführt wird, daß man festsetzt, cp sei jener Bogen aus dem 
Intervall (0, 2:r), dessen Sinus das Vorzeichen von y, dessen 
Kosinus das Vorzeichen von x hat. An die Stelle der Glei 
chungen (2) treten die folgenden: