Dritter Abschnitt. Differentiation vonPunktionen mehrerer Variablen. 143 
d x ■ dr 
d )/ , d r 
^ w nr\a m -L- 
r COS Cp + y- sin cp 
(B) 
- - *• cos 9) - 2^ sin <p + cos ? 
II. Bedeuten wieder x, y die Koordinaten eines Punktes 
M der Ebene in bezug auf ein (rechtwinkliges) Koordinaten 
system, u = x x , v = y x die Koordinaten eines anderen Punktes 
M x derselben Ebene in bezug auf dasselbe Koordinatensystem, 
so vermitteln die Gleichungen (1*) oder 
fx t = y) 
Ui = V) 
(6) 
den Übergang von M zu M t , die inversen Gleichungen 
(1) oder 
X=cp(Xi, y x ) 
y = 1>(?i, yi) 
den Übergang von M x zu M, und beide bestimmen eine Trans 
formation der Ebene in sich. Die Ebene erscheint nun als 
Trägerin zweier Punktsysteme S und S x , die Gleichungen (6) 
ordnen jedem Punkte aus S einen und nur einen Punkt aus S X7 
umgekehrt die Gleichungen (6*) jedem Punkte aus S x einen 
und nur einen Punkt aus S zu*, aus diesem Grunde wird die 
Transformation auch ein-eindeutige Punkttransformation genannt. 
Weil wir von den Funktionen cp X7 tp x - cp, ijs voraussetzen, daß 
sie stetig sind und bestimmte Differentialquotienten besitzen, 
so werden hinreichend kleinen Änderungen von x, y beliebig 
kleine Änderungen von x X7 y x und umgekehrt entsprechen; 
infolgedessen wird bei stetiger Bewegung des Punktes M 
im allgemeinen auch der transformierte Punkt M x eine stetige 
Bewegung ausführen; daher nennt man die Transformation 
eine kontinuierliche. Geht durch den Punkt M eine Kurve, so 
bestimmt die Richtung ihrer Tangente daselbst, hin- 
gegen die Richtung der Tangente an die transformierte Kurve 
im Punkte M x .