Erster Teil. Differential-Rechnung. 
X 2 + y 2 + # 2 = 
Oi 2 + a 2 + a 2 )x 2 + (V + b 2 + b 2 )y 2 + {c 2 + c 2 + c 2 )z 2 
H~ ^ C x fi - ^2^2 "f" ^3^ 3 )y x Z x “l - ^ (^1^1 “f" ^2^2 "T ^S^s) ^1^1 
+ 2(a 1 6 1 + ö 2 & 2 -f- o 3 b 3 )x x y x ; 
ersetzt man die linke Seite, entsprechend der Definition, durch 
¡24 2 + 2/i 2 + z \i 80 führt die Vergleichung beider Seiten zu 
folgenden für die orthogonale Transformation charakteristischen 
Beziehungen*): 
a x 2 + a 2 2 + a a 2 = 1 
b 2 + 6 2 2 + V = 1 
c \ + c 2 2 -f c 3 2 == 1 
(17) 1 2 3 
\ C x + &2 C 2 + b z c 3 = 0 
c x a x + c 2 a 2 + c 3 a 3 = 0 
«A + «A + Ms = 0. 
Multipliziert man ferner (16) der Reihe nach mit a x , a 2 , a 3 ; 
dann mit b X) b 2 , b 3) endlich mit c x , c 2} c 3 und bildet jedesmal 
die Summe mit Rücksicht auf (17), so ergibt sich die inverse 
Transformation 
! x x = a x x + a 2 y + a 3 s 
Vi = b x x + b 2 y + b 3 z 
z x = c x x 4- c 2 y + c 3 ^ 
und zu den Relationen (17) treten somit noch die folgenden: 
V + b 2 + q 2 =l 
M + b 2 + c 2 = 1 
(17 *) . ^ + c * ~ 1 
a 2 a 3 + b 2 b 3 4- c 2 c 3 = 0 
@¡¡(¿1 4~ b 3 b x 4- c 3 c x — 0 
a x a 2 + \b 2 4- c x c 2 = 0. 
*) Mit Hilfe dieser Relationen ist leicht nachzuweisen, daß das 
Quadrat der Determinante der Transformation: 
gleich der Einheit, die Determinante selbst also von Null verschieden ist.