Czuber, Vorlesungen I. 2. Aufl. 
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Vierter Abschnitt. Reihen. 
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» Summen von 
n als Partial- 
halten, als es 
3 Reihe diver- 
ärgente Reihe 
achtungen so- 
are Weg zur 
der Divergenz 
umme s n und 
i. Zwei Bei 
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konvergiert 
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und damit 
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r ergent und 
1 • d) Für 
uitheit; in- 
1 + 1-| , 
ihr Grenz 
wert + oo. s) Ähnlich muß für x = — 1 auf die Reihe selbst, 
d. i. 1 — 1 + 1 — !+••• gegriffen werden, deren Partial 
summen die Zahlenfolge 1, 0, 1, 0, . . . bilden; die Reihe (6) ist 
divergent und man sagt, sie schivanke zwischen 0 und 1. 
Wie dieses Beispiel zeigt, tritt die Divergenz entweder 
dadurch zutage, daß die Partialsummen schließlich mit Bei 
behaltung eines bestimmten Vorzeichens dem Betrage nach 
größer werden und bleiben als jede positive Zahl — der Grenz 
wert der Reihe ist + oo oder — oo — oder daß sie bei 
numerischem Wachsen beständig ihr Vorzeichen wechseln — 
der Grenzwert ist unbestimmt unendlich — oder daß sie 
zwischen zwei endlichen Zahlen schwanken — der Grenzwert 
ist unbestimmt. 
2) Aus der unbegrenzt fortsetzbaren Folge reeller Zahlen 
CCq, cc 1} cc%, . . . 
bilde man die neue Folge 
Uq = OJq CCy, U-y = CCy CC.2, (ig ^2 7 • • • 7 
dann gehört zu der unendlichen Reihe 
a 0 + a i + % + ' ' ‘ 
die allgemeine Partialsumme 
s n ~ ( a o a i) “k ( a i + ' ‘ ‘ V i K n a n+1) = a o *+ + 15 
die Reihe ist demnach konvergent, wenn a n+1 mit wachsendem 
n gegen eine bestimmte Grenze konvergiert; ist a diese Grenze, 
so hat die Reihe den Grenzwert s = a 0 — a. In jedem anderen 
Falle ist sie divergent. 
Ist beispielsweise 
_ 1 
ai ~ (p + * — i) Cp + *) • • • (p + q + • — 1) 7 
also 
__ _ _ _ 1 / 1 l \ 
a i a i a i +1 (p + i) • • ■ (p + q_ + i — 1) \p + i — 1 p + q_ + i) 
g + 1 
(P + * — 1) (P + •) • •' (P + 2 + *) ’ 
so ist lim = 0, die Reihe a 0 + a r + a 2 + • • • 
* = + 00 
vergent und s = a 0 = 
so daß 
l 
(P — 1)P • • • (P + 2 — 1) 
ihr 
also kon- 
Grenzwert,