Vierter Abschnitt, Reihen. 
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Soll eine Eeihe konvergent sein, so muß sich ein Glied bestim 
men lassen, von welchem an die Summe beliebig vieler auf 
einanderfolgender Glieder dem absoluten Betrage nach Meiner ist 
als eine im voraus festgesetzte beliebig Meine positive Zahl. 
Diese Bedingung ist zur Konvergenz auch hinreichend; 
denn ist sie für n = m' erfüllt, so kann der absolute Betrag 
keiner Partialsumme s n (n > m) größer sein als | s m > | + s: die 
absoluten Beträge aller dieser Partialsummen sind also zwischen 
die Grenzen | s m ' | und | s m ' | + s eingeschlossen, die sich durch 
Wahl des s beliebig eng ziehen lassen. 
Aus der für eine konvergente Reihe charakteristischen 
Eigenschaft lassen sich wichtige Folgerungen ziehen. 
1) Für p = 1 lautet (7*) 
(8) | a n+1 | < £ 
und dies ist gleichbedeutend mit dem Ansätze lim a n = 0. 
n— + t» 
Soll also eine Reihe konvergent sein, so muß ihr allgemeines 
Glied a n mit beständig wachsendem n der Null als Grenze sich 
nähern oder unendlich Mein werden. Diese Bedingung ist not 
wendig, aber nicht hinreichend, wie mau anfänglich, ja bis 
gegen das Ende des 18. Jahrhunderts, geglaubt hat, weil es 
auch divergente Reihen gibt, welche sie erfüllen, wie alsbald 
gezeigt werden wird. 
Man kann diesen Ergebnissen eine kurze Fassung geben 
in dem Falle, wo die Glieder der Reihe rationale Zahlen sind, 
nämlich: Die Glieder einer unendlichen Reihe müssen, soll sie 
konvergent sein, eine Elementarreihe und ihre Partialsummen 
eine Fundamentalreihe bilden; die durch diese Fundamental- 
2) Zerlegt man die unendliche Reihe a 0 -f- a 1 -f- a 2 -)- • • • 
in die endliche Summe 
s n = a o + a i + ’ ' ‘ + a n 
und in die unendliche Reihe 
(9) a n +1 + a n + 2 + • • ", 
so ist diese mit der ursprünglichen zugleich konvergent; denn 
ihre aufeinanderfolgenden Partialsummen sf, sf,... unterscheiden