Vierter Teil. Reihen. 
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so ist auch die mit Hilfe eines bestimmten von Null ver- 
00 
scbiedenen k gebildete Reibe 2 iha * konvergent und Tcs ibr 
Grenzwert. 
Denn ist s n die Partialsumme aus den n + 1 Anfangs- 
gliedern der ersten Reihe, so ist ks n die entsprechende Partial 
summe der zweiten, und konvergiert s n für lim n = + oo gegen 
s, so konvergiert ks n gleichzeitig gegen ks. 
War dagegen die erste Reihe divergent, so ist es die 
zweite auch. 
Mil Hilfe dieses Satzes ergibt sich beispielsweise aus der 
letzten Gleichung in 69, daß 
2{i+l) (¿ + 2) (¿+3) 
1 
1-2-3 
+ 
2-3-4 ' 3-4-5 
T 
2) Sind die Reihen und konvergent und s, t 
0 0 
ihre Grenzwerte, so sind auch die Reihen 
GO co 
+ &*•)> 2 ( a i ~ 
konvergent und 5 -f- t, s — t beziehungsweise ihre Grenzwerte. 
Bezeichnet man nämlich die Partialsummen aus den n -(- 1 
ersten Gliedern der vier Reihen folgeweise mit s n , t n , <3 n , t nf 
so ist 
^n ”h T'n ^ n 
und daraus ergibt sich, wenn man den Grenzübergang 
lim n = -f- oo ausführt, die Richtigkeit der obigen Behaup 
tungen. 
Ist nur eine der beiden ersten Reihen divergent, so gilt 
das Nämliche für die beiden letzten Reihen. 
Der Satz läßt sich auf eine beliebige, aber beschränkte 
Anzahl von Reihen ausdehnen. 
72. Reihen mit positiven Gliedern. Wir wenden uns 
nun der speziellen Betrachtung von unendlichen Reihen mit 
durchwegs positiven Gliedern zu, einesteils, weil diese Reihen 
ausgezeichnete Eigenschaften besitzen, andernteils, weil die Be