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Erster Teil. Diiferential-Eechnung, 
§ 2. Reihen mit variablen Gliedern. 
81. Gleichmäßige Konvergenz einer Reihe mit va 
riablen Gliedern. Für einen Bereich der stetigen Variablen 
x sei eine unbegrenzt fortsetzbare Folge von eindeutigen reellen 
Funktionen 
(!) w 0 = f 0 0), u t = /; 0), u 2 
definiert; die ans diesen Funktionen gebildete unendliche Reihe 
(2) u 0 -f- u 1 -|- m 3 -(- • • • 
sei nicht blos für einen einzelnen Wert von x, sondern für 
alle Werte eines Kontinuums (u, ß), das jenem Bereiche au- 
gehört ; konvergent; dann konstituieren die zu diesen Werten 
des x gehörigen Grenzwerte der Reihe (2) eine Funktion von 
x, von welcher man sagt, sie sei durch die unendliche Reihe 
(2) definiert. Bezeichnet man diese Funktion mit f{x), so gilt 
für alle Werte x aus dem Intervall (a, ß): 
co co 
( 3 ) f(. x ) = 2 u n = 2 fni?) ■ 
0 0 
Hiermit ist dem Begriffe nach folgendes ausgesagt: Ist x 
ein Wert aus («, ß), so läßt sich zu einem beliebig klein 
festgesetzten positiven s eine natürliche Zahl m bestimmen 
derart, daß 
(4) i U n + X + U n + 2 + • • • + U n+p I < £ 
für n ;> m und jeden Wert von p aus der natürlichen Zahlen 
reihe, daß also auch insbesondere der zu der Partialsumrae 
(5) s n (x) = u 0 + % + + u n 
gehörige Rest 
( 6 ) («)■=«*»+!+ **»+* + ••• 
für n ;> m seinem Betrage nach kleiner ist als e. Die Par 
tialsumme s n (x) stellt dann für den betrachteten Wert x die 
Funktion f{x) mit einem Fehler dar, dessen absoluter Wert 
unter s liegt. Man kann den Inhalt der Gleichung (3) auch 
in der Form 
(7) f{x) = lim s n {x) 
II = + 00