Vierter Abschnitt. Reihen, 
1) at, solange sie konvergiert, d. i. für j x \ < 1, den Grenzwert 
fix) = ■ 1 ; derselbe ist auch für x =— 1 stetig und doch 
darf nicht 
2-1 1 ! 1 
gesetzt werden, weil die definierende Reihe an der Grenze 
X = — 1 nicht mehr konvergiert. 
Die Reihe des ersten Beispiels ist zugleich ein Beleg dafür, 
daß man bei einer Potenzreihe, welche gerade und ungerade 
Potenzen von x enthält, aus der Konvergenz für x = ß nicht 
auch auf die Konvergenz für x = — ß schließen darf; bei einer 
Reihe, welche nur gerade oder nur ungerade Potenzen enthält, 
ist dieser Schluß immer zutreffend. 
87. Abgeleitete Reihen. Für jeden Wert von x, für 
ivelchen die Potenzreihe (9): 
Üq a^x c<2 F 
konvergent ist, ist auch die aus den Differentialquotienten der 
einzelnen Glieder gebildete Reihe 
(14) 1 a l + 2 a^x + 3 a 3 x 2 + • • ■ 
konvergent. 
Existiert nämlich für die Reihe (9) der Grenzwert 
I a | 
lim j —— j und heißt er A, so ist diese Reihe konvergent für 
«= + oo | a n+1 I 
alle Werte innerhalb des Intervalles (— A, + A) (84). Be 
zeichnet man aber die Koeffizienten der Reihe (14) mit A lf 
Ai n I a [ 
Ä 9 , Ao, , so ist ! = —r— • —— , es hat demnach 
” denselben Grenzwert wie I —— 
A \ a 
\ n+1 1 I n +1 
ist demselben Satze zufolge absolut konvergent für die näm 
liehen Werte von x wie (9). 
Hiernach ist also beispielsweise mit der Reihe 
1 + X + X 2 + X 3 + • ■ ■ 
gleichzeitig die Reihe 
1 + 2 x + 3 x* H 
absolut konvergent, solange | x \ < 1. 
und die Reihe (14) 
A n n 
a 
n 
A . «4-1 
n+1 1 
a 
n +1