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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Unabhängig von der Existenz des Grenzwertes für I —— 
I a n + i 
kann die obige Behauptung auch so erwiesen werden. An 
genommen, für den Wert x = X seien die Glieder von (9) 
dem absoluten Betrage nach unter der positiven Zahl k ge 
legen, also 
I a n X n I < * 
für jedes n- daun ist dem ersten Abelschen Satze gemäß (9) 
absolut konvergent für jedes x, wofür | x 1 < ! X I. Nun aber 
ist für das allgemeine Glied von (14) 
infolgedessen, wenn man 
x 
setzt, 
|litj + 2a 2 x\ + \ 3 a 3 x* | H Cr^rfl + 2 g + 3q 2 -j ); 
die in der Kammer rechts eingeschlossene Reihe ist aber nach 
der vorausgeschickten Bemerkung konvergent, wenn q< 1, 
daher ist auch die Reihe 
[ 1 | + { 2 a 2 x |+3 a 3 x 2 )+'••• 
konvergent und infolgedessen die Reihe (14) absolut konver 
gent für alle x, welche dem absoluten Betrage nach kleiner 
sind als | X \. 
Auf Grund von 85, 3) ist die Konvergenz von (14) in 
jedem Intervalle, dessen Grenzen dem Betrage nach kleiner sind 
als | X. |, eine gleichmäßige und ist der Grenzwert von (14) 
ebenso wie der von (9) eine stetige Funktion von x. 
An den Grenzen des Konvergenzintervalls darf, selbst wenn 
für diese die Reihe (9) konvergent ist, auf die Konvergenz der 
Reihe (14) nicht geschlossen werden. So ist die Reihe 
x | , 
^2 + 22 + y* + ' ‘ • 
auch an den Grenzen — 1, + 1 ihres Konvergenzintervalls und