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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Als konvergente Potenzreihe kann auch jede rationale ganze 
Funktion von x angesehen werden; ihr Konvergenzintervall er 
streckt sich über das ganze Gebiet der reellen Zahlen; ist 
f{x) = a 0 -f «i# + u 2 x 2 + • • • + a n x n , 
so ist 
f( n )(x) = n(n — 1) ... 1 • a n 
und jeder höhere Differentialquotient gleich Null; für eine solche 
Funktion bricht also die Taylor sehe Reihe ebenfalls mit dem 
(n l)-ten Gliede ah und lautet: 
(20) fix + h) =- f(x) 
f{x) f"{x) f(n)X 
-j-h+ j ; g- ÄH h iT2TT7 
sie ist hier gültig für jeden endlichen Wert von x und von h. 
89. Identische Gleichheit zweier Potenzreihen. Um 
die Bedingungen festzustellen, unter welchen zwei Potenzreihen 
eine und dieselbe Funktion darstellen, weisen wir zunächst den 
folgenden Satz nach: 
Wenn die durch die konvergente Potenzreihe 
a 0 + a x x + a 2 x 2 -)-••• 
definierte Funktion f(x) für alle Werte von x aus einem beliebig 
engen Intervall (— Ö, + d) Null ist, so ist sie für alle Werte 
von x gleich Null, weil dann die Koeffizienten der Potenzreihe 
sämtlich verschwinden müssen. 
Weil der Wert x — 0 dem Intervall angehört, so ist 
fi 0) = «o = 0; 
daher ist 
f{x) = a x x + a 2 x 2 -)-••• = x(a x + a 2 x +•••), 
und soll dies letzte Produkt an jeder Stelle von (— d, + d) 
gleich Null sein, so muß 
a x -j- a 2 x -f a 5 x 2 + • • • 
für alle diese Werte von x verschwinden, wofür wieder 
a x = 0 
notwendige Bedingung ist; dann aber ist 
f{x) = a 2 x 2 + a 3 x 3 -(-••• = x 2 [a 2 + a 3 x + •• •),