214 Erster Teil. Differential - Rechnung. 
f(x) beständig gleich Null ist. .Auf diese Weise fortiährend 
muß inan notwendig zu einem Intervall kommen, das die Null 
einschließt; dann aber befindet man sich im Falle des vorigen 
Satzes und schließt, daß 
a 0 = 0, a x = 0, a 2 = 0, . . . 
Auf Grund dieser beiden Sätze kann nun die Richtigkeit 
der folgenden Behauptung erwiesen werden: 
Besitzen zwei konvergente Potenzreihen 
a 0 + a x x -f- a 2 x 2 + ■ • • 
\ -f \ x + b. 2 x 2 H 
für jedes x aus einem beliebigen Intervall (a, ß) übereinstimmende 
Grenzwerte f{x"), g ix), so sind die Koeffizienten gleichhoher 
Potenzen von x einander gleich und die Grenzwerte im ganzen 
Konvergenzintervall ubereinstimmend. 
Da nämlich 
f{x) —g(x) = (a 0 — b 0 ) + (a x — bf)x+ (a 2 — bf)x 2 H 
Null ist für alle x aus (a, ß), so ist 
«o — & o = 0 > a 1 — b 1 = 0, a 2 — b 2 = 0,..., 
also 
«0 = ^07 = a 2 == ^2 7 • • • 
und die Gleichung f(x)—g{x) = 0 oder f(x)=g{x) besteht 
für alle Werte von x, für welche die Reihen konvergieren. 
Daraus ergibt sich die Tatsache, daß eine Funktion, wenn 
sie als Grenzwert einer Potenzreihe darstellbar ist, es nur 
auf eine einzige Art sein kann. 
Der obige Satz führt den Namen des Satzes der unbe 
stimmten Koeffizienten und gilt ebensowohl für Potenzreihen 
wie für ganze Funktionen. 
90. Komplexe Potenzreihen. Die über Potenzreihen 
unter Voraussetzung reeller Koeffizienten und reeller Werte der 
Variablen abgeleiteten Sätze behalten ihre Geltung auch dann, 
wenn die Koeffizienten komplexe Zahlen sind, oder wenn der 
Variablen auch komplexe Werte erteilt werden, oder wenn 
beides zusammentrifft, sofern man den absoluten Wert einer 
komplexen Zahl so versteht, wie es in 6 erklärt worden ist, 
nämlich als ihren Modul.