Vierter Abschnitt. Reihen. 
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Die Konvergenzbedingung erhält hier eine veränderte 
Deutung. Sind nämlich die Koeffizienten a 0 , a 1} a 2 , . . . kom 
plexe Zahlen, 
a n = «« + ßj 
und existiert für 
a -j / a 2 i ß 2 
I a . | ’ cc 2 , , _i_ ß 2 , , ■ 
bei lim n = + oo ein bestimmter Grenzwert k, der eine 
positive reelle Zahl sein wird, so drückt die Konvergenz- 
bediugung (84) 
| x | < l 
bei Zulassung komplexer Werte von x aus, daß der Modul 
von x = | + ij i, 
I 
sein müsse; der die Zahl x in der Zahlenebene darstellende 
Punkt (6) hat also für den Fall der Konvergenz innerhalb 
eines Kreises zu liegen, welcher mit dem Halbmesser l um den 
Ursprung 0 beschrieben wird. Diesen Kreis, welcher an die 
Stelle des Konvergenzintervalls bei reellen Reihen getreten ist, 
bezeichnet mau als den Konvergenzlireis der Potenzreihe. Ist 
die Reihe beständig konvergent, so erweitert sich der Kreis 
zur unbegrenzten Ebene, welche das Konvergenzgebiet darstellt, 
o 
§ 3. Die Formeln und Reihen von Taylor und Maclaurin. 
91. Die Taylorsche Formel. Es ist gezeigt worden 
(88), daß eine Funktion f{x), welche als Grenzwert einer kon 
vergenten Potenzreihe definiert ist, für das Argument x + Ji, 
sofern x sowohl als x + h dem Konvergenzintervalle augehören, 
in eine nach positiven ganzen Potenzen von h fortschreitende 
Reihe entwickelt werden kann; die bezügliche Entwicklung er 
hielt dort den Namen Taylorsche Reihe. 
Nun sei f{x) eine beliebige Funktion von x, von der wir 
voraussetzen, daß sie in einem Intervalle (a, ß) eindeutig und 
stetig sei und Difierentialquotienten bis zur [n — l)-ten Ord 
nung einschließlich zulasse; übrigens hat die Existenz eines 
bestimmten vollständigen Differentialquotienten n — 1-ter Ord-