220 
Erster Teil. Differential-Rechnung. 
d. h. sie hat nur dann einen bestimmten Grenzwert und ist 
somit konvergent, wenn lim R n eine bestimmte Größe A be- 
w = -(- oo 
deutet, und zwar ist ihr Grenzwert dann f(x + h) — A- er ist 
insbesondere fix -f- h) selbst, wenn A = 0, d. h. wenn 
(9) lim R n = 0. 
n—-f- 00 
Dann also ist 
(10) f{x + h) - f(x) + ^fh + f f§ ¥ + ■■■, 
die Function fix) also ebenso wie der Grenzwert einer nach 
x fortschreitenden Potenzreibe in die Taylorsche Reihe ent 
wickelbar. 
Die eindeutige Funktion f(x-\- li) ist durch die Taylorsche Reihe 
(■’w 
o 
darstellbar, wenn die Funktion fix) in dem Intervall (x, x -f h) 
endlich bleibt, vollständige bestimmte Differentialquotienten jeder 
beliebigen Ordnung daselbst besitzt und wenn das Restglied R n , 
in einer der unter (5), (7), (8) angegebenen Formen geschrieben, 
für lim n = oo gegen die Grenze Nidl konvergiert.*) 
Die Untersuchung des Restgliedes gestaltet sich am ein 
fachsten bei Funktionen, für welche f( n \z) bei jedem n eine 
endliche Größe, wenigstens in dem Intervalle {x, x + h), be 
deutet; denn alsdann hängt es laut (7) nur von dem Ausdruck 
V 
1-2 ■ ■ ■ n 
ab, ob R n für lim n = + oo den Grenzwert Null hat; dieser 
Ausdruck konvergiert aber für jedes endliche h gegen die Grenze 
Null, somit auch R n . Schreibt man nämlich das unendliche 
Produkt, in welches der Ausdruck bei dem Grenzübergange 
sich verwandelt, in der Form (1 — a 1 ) (1 — af) (1 — a 3 ) ..., d. i. 
*) Die angeführten Bedingungen reichen zur Gültigkeit des Ansatzes 
hin. Die notwendigen und hinreichenden Bedingungen, die also den 
ganzen Umfang der Funktionen kennzeichnen, welche eine solche Ent 
wicklung gestatten, hat A. Pringsheim festgestellt. Ygl. Mathem. 
Annalen, Bd. 44 (1894).