Vierter Abschnitt. Reihen. 
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so ist a n > 0, sobald n > h, und die Reihe 
» - 
divergiert, weil 
n — h n 1 — h » -f- 2 — h 
n n -)-1 ' n -|- 2 ' 
1 -] 1 L . 
» »4-1 »4-2' 
divergent ist (73, 1)) und die Zähler überdies beständig wachsen 
infolgedessen divergiert auch das unendliche Produkt gegen 
die Grenze Null (78, 2)). 
Die Gleichung (10) gestattet, die Änderung f{x-\-h)—f{x) 
— Af\pd), welche die Funktion bei dem Übergänge von der 
Stelle x zu der Stelle x - h erfährt, in Form einer konver 
genten Potenzreihe nach h auszudrücken: 
Jf(x) - fix) h + f ^§ V + }/ + ■■■ 
und daher mit jedem gewünschten Grade der Annäherung zu 
berechnen; dieses Ziel wird um so rascher erreicht werden, je 
kleiner der Betrag von h ist. Unter der Voraussetzung eines 
sehr kleinen h sind die Produkte 
f'(x)h, f"(x)h 2 , f"'(x)h 3 ,. . . 
unter dem Namen des ersten, zweiten, dritten,... Differentials 
eingeführt und mit 
df(x), d 2 f(x) } d 3 f(x),. . . 
bezeichnet worden (42); für ¿df{x) ergibt sich dann die Dar 
stellung : 
(u) j Kx) = df{x) + ^m + ^m + ..., 
welche den Zusammenhang zwischen der wirklichen Änderung 
der Funktion und ihren mit h gebildeten Differentialen der 
verschiedenen Ordnungen nach weist; sie gibt auch den ana 
lytischen Ausdruck für den Fehler, der begangen wird, wenn 
man xdf(x) durch df(x) ersetzt. 
Wenn f(a -f h) die Taylor sehe Entwicklung zuläßt, so 
vertritt das Restglied