93. Die Maclaurinsche Formel. Wenn das Intervall 
(cc, ß), in welchem die Funktion f(x) die für die Taylor sehe 
Formel (6; zureichenden Bedingungen erfüllt, auch den Wert 
x = 0 einschließt, so kann auch dieser zum Ausgangspunkte 
der Entwicklung gemacht werden; h als Variable betrachtet 
ist dann durch das Intervall (a, ß) beschränkt und soll mit x 
bezeichnet werden. Mit diesen Veränderungen \x = 0 gesetzt 
und x für h geschrieben] nimmt die Formel (6) die Gestalt an: 
/•G-i)( 0 ) 
(12) = 0) 
1 •2 ■ • ■{n 
während gleichzeitig aus (7) und (8) 
(13) R„ = fi ' l){ * x) 
1 • 2 • 
(14) 
li 
f {n \<dx) 
1 • 2 
ZTn (! - e )" 
'x n 
(n — l) 
folgt. Die Gleichung (12) in Verbindung mit einer oder der 
andern der beiden letzten Gleichungen bezeichnet man als 
Maclaurinsche Formel. Ihr analytischer Inhalt fällt im Wesen 
mit jenem der Taylor sehen überein. 
Die Bedingungen des Ansatzes (12) fließen unmittelbar 
aus 91, 1) und lauten dahin, daß 0 und x in jenem Intervall 
(«, ß) gelegen sein müssen, in welchem f{x) endlich bleibt 
und vollständige bestimmte Differentialquotienten bis zur n-ten 
Ordnung einschließlich besitzt. 
94. Die Maclaurin sehe Reihe. Wenn die Funktion f(x) 
in dem Intervall (0, x) endlich ist und daselbst vollständige 
bestimmte Differentialquotieuten aller Ordnungen besitzt, und 
wenn überdies das Restglied R n mit wachsendem n der Grenze 
Null sich nähert, so gilt der Ansatz: 
(15) 
fi*) 
/'(0) + f ( f- x + f ± ^ z 2 + 
welchen man als Maclaurinsche Reihe bezeichnet. 
Im Hinblick auf die 89 festgestellte Tatsache kann der 
Satz ausgesprochen werden: Wenn eine Funktion f(x) in eine 
nach x fortschreitende Potenzreilie entivickelbar ist, so ist sie es 
nur auf eine Art und diese Entwicklung ist die Maclaurinsche.