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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
stehen, so kann das Restglied in der Form 
7> coa[0a? + (p+l)«] 8p + 2 ( 1> + 1 coa0.r 2g + 2 
+ 2 1.2 • • • (2 p + 2) ^ ' 1 • 2 • • • (2 p 4- 2) 
geschrieben werden, weil cos (a nit) = (— l)*cos a. 
97. Logarithmische Reihen. Die Funktion Z# selbst 
ist in eine nach x fortschreitende Potenzreihe nicht entwickel 
bar, weil sie für x = 0 unstetig wird. Wir legen uns daher 
die Funktion f(x) = l (1 + x) vor, welche für alle — 1 über 
schreitenden Werte von x stetig bleibt wie auch ihr n- ter 
Differentialquotient, der sich aus 41, (4) ergibt: 
Da f(0) = 0 und f№(0) = (— V) n ~ 1 1 • 2 • • • (n — 1), so 
hat man 
(24) 
für alle Werte von x, für welche das Restglied der bei 
cc 
(— l)” -2 n ~i abgebrochenen Reihe, d. i. 
L -|- dx) n 
je nachdem man sich an die Form (13) oder (14) in 93 hält, 
mit wachsendem n gegen Null konvergiert. 
Das Konvergenzintervall der Reihe (24) ist aus 84 bekannt; 
es ist durch — 1 einerseits und + 1 andererseits begrenzt und 
an seiner oberen Grenze findet noch bedingte Konvergenz statt; 
nur auf dieses Intervall braucht also die Untersuchung des 
Restgliedes erstreckt zu werden. Für 0 < x < 1 zeigt die 
erste Form 
in welcher —. sicher ein echter Bruch ist*), daß 
1 -f- Qx 
*) Denn 0 kann weder 0 noch 1 sein.