232 
Erster Teil. Differential-Rechnung. 
den Fall, daß m eine positive ganze Zahl sei, aus und setzt a 
sowohl als a + s positiv voraus, so ist F{z) bei jedem reellen 
Werte von m reell und läßt sich als Produkt der reellen 
F aktoren 
darstellen, wovon nur der zweite veränderlich ist. Wird — — x 
7 a 
gesetzt, so handelt es sich also um die Entwicklung von 
f(x) = (1 + x) m . 
‘Laut 41, (2) ist 
/•(«)(#) = m(m — 1) . . . (m — n + 1)(1 + x)‘ 
\m — n 
daher 
f(0) = 1, /*-)(0) = m{m — 1) ... {m — n + 1); 
hiermit liefert die Maclaurinsche Reihe die Entwicklnnsr: 
O 
(27) (1 -f x) m == 1 + y x -f 
welche man als Binomialreihe bezeichnet. Es erübrigt noch, 
den Geltungsbereich dieses Ansatzes festzustellen. 
Zunächst ist das Konvergenzintervall der Reihe zu be 
stimmen; schreibt man sie in der allgemeinen Form a 0 + a x x 
-f- o 2 x 2 -+-•••, so ist 
m{m — 1) • • • (m — n -j- 1) ^ — !)••• (m — n) 
a n~~~~ 1 • 2 • • -n 7 Ü 'n+1 — 1.2 • • • (n -fl) 7 
infolgedessen 
daher (— 1, -f- 1) das Konvergenzintervall (84). Nur auf dieses 
braucht die Untersuchung des Restgliedes beschränkt zu wer 
den, das sich in den Formen: 
darstellen läßt. 
I. Ist | x j < 1, so zerlege man das Restglied in seiner 
zweiten Form in die Faktoren